1、互动课堂重难突破一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个:定理1是圆的内接四边形对角互补;定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理表述形式稍有差别,但反映的本质相同,都反映了圆内接四边形所具有的特征.利用这两个定理,可以借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.二、圆内接四边形的判定定理1.定理:如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆.2.符号语言表述:
2、在四边形ABCD中,如果B+D=180,那么四边形ABCD内接于圆.3.证明思路:要证明四边形ABCD内接于圆,就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上.根据我们的经验,若能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说,总可以确定一个圆.因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点,譬如过A、B、C三点作一个圆,再证明第四个点D也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难,所以我们采用反证法证明.也就是假设点D不在圆上,经过推理论证,得出错误的结论,这就说明点D不在圆上是错误的,因此点D只能在圆上.图2-2-1由于点D不在圆上时,可
3、能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况,所以应分别加以证明,下面先讨论点D在圆内的情况.假设点D在圆内,若作出对角线BD,延长BD和圆交于D,连结AD、CD,则ABCD为圆内接四边形(如图221),则ABC+ADC=180.另一方面,因为ADB、BDC分别是ADD和CDD的外角,所以有ADBADB,BDCBDC,于是有ADCADC.因为已知ABC+ADC=180,所以ABCADC180,这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点D不能在圆内.用类似的方法也可以证明点D也不能在圆外.因此点D在圆上,即四边形ABCD内接于圆.三、判定四点共圆的方法(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆.
4、(2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等).四、刨根问底问题 圆内接四边形判定定理的证明,推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果,体现了反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法,那么与正面证明相比较,反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它有什么优点？探究:反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的
5、假设,达到肯定原命题正确的一种方法. 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n -1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾,与已知的公理、定义、定理、公式矛盾,与反设矛盾,自相矛盾.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一
6、种)与穷举反证法(结论的反面不止一种),如在上述定理证明中,假设点D不在圆上,则有点D在圆外和点D在圆内两种情况,必须一一证出这两种情况都不成立后,才能肯定点D在圆上.用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.对于一些从正面难以说明的问题,反证法往往有着出奇制胜的作用.活学巧用【例1】圆内接四边形ABCD中,若ABC=234,则D=.思路解析:由圆内接四边形性质可知:A+C=180,根据AC=24,可求出A和C,从而求出B和D.方法一:四边形ABCD内接于圆,A+C =180.又AC =24,A =60,C =120.又AB =23,B =90.D =180-
7、B =90.方法二:ABC=234,又A+C =B +D,ABCD =2343.B =D.又B +D =180,D =90.答案:90【例2】如图2-2-2,已知ABCD为平行四边形,过点A和B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证:C、D、E、F四点共圆.图2-2-2思路解析:连结EF.由B +AEF=180,BC =180,可得AEF =C.证明:连结EF.ABCD为平行四边形,BC =180.A、B、F、E内接于圆,B+AEF =180.AEF =C.C、D、E、F四点共圆.【例3】 两圆相交于A、B,过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F.若EAB =DAB.求证:CD=EF.图2-2-
8、3思路解析:要证CD=EF,只需证明CBDEBF即可.从图2-2-3可以看出C =E,D =F,因此,尚需找一条对应边相等即可.比如,能否推出BC=BE呢？要证BC=BE,只需CEB=ECB.有无可能呢？可以发现ECB =1,又已知1=2,所以,只需证2 =CEB即可.这时我们发现ABEC是圆内接四边形,根据性质定理,它的外角2与它的内对角CEB当然相等.至此,思路完全沟通.证明:连结EC、DF,ABEC为圆内接四边形,2=CEB.又1=ECB,且1=2,CEB =ECB.BC =BE.在CBD与EBF中,C=E,D=F,BC =BE,CBDEBF.CD=EF.【例4】在锐角ABC中,BD、C
9、E分别是边AC、AB上的高线,DGCE于G,EFBD于F.求证:FGBC.图2-2-4思路解析:证FGBC,只需证DFG =DBC即可.我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系,探求证明的思路.证明:如图2-2-4,连结DE,由于RtBCE与RtBCD共斜边BC,所以B、C、D、E四点共圆.由同弧上的圆周角,有DBC=DEG.同理,RtEDF与RtDGE共斜边DE,所以D、E、F、G四点共圆.于是,DEG =DFG.因此,DBC =DFG.于是FGBC.【例5】如图2-2-5,四边形ABCD为O的内接四边形,AB =AD,BCD=120.图2-2-5(1)当O的半径为8 cm
10、时,求ABD的内切圆面积;(2)求证:AC =BC + CD.思路解析:(1)要求内切圆面积,则先求内切圆半径和圆心,因此先研究ABD的性质.(2)证明线段的和的问题,先在AC上截取CE =BC,然后再证AE =CD.(1)解:过O点作OHBD,垂足为H,连结BO.四边形ABCD为O内接四边形,BAD +BCD =180.BAD =60.AB=AD,ABD为正三角形.OH为ABD的内切圆半径.在RtOBH中,OB =8 cm,OBH=30,OH =4 cm.ABD的内切圆面积为16cm2.(2)证明:在AC上截取CE =BC,连结BE.BCA =BDA =60,BCE为等边三角形.BE =BC.又BEA =BCD,BAE =BDC,ABEDBC.AE=CD.AC =AE +CE =CD +BC.
