1、一曲线的参数方程1了解学习参数方程的必要性2理解参数方程、普通方程的概念，通过比较参数方程和普通方程，体会两者的联系与区别3掌握圆的参数方程及其参数的意义4能用圆的参数方程解决一些简单问题5能进行普通方程和参数方程的互化1参数方程的概念(1)在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数(*)，并且对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的_，联系变数x，y的变数t叫做_，简称_相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_(2)参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有几何意义或物理意义的变数，也可以
2、是无实际意义的变数(1)参数t是联系x，y的桥梁，它可以有物理意义或几何意义，也可以是没有明显实际意义的变数(2)参数的选取一般需注意两点：x，y的值可由参数惟一确定；参数与x，y的关系比较明显，容易列出方程(3)参数可根据具体条件选取，如时间、线段长度、方位角、旋转角等【做一做1】 与普通方程xy1表示相同曲线的参数方程(t为参数)是()A. B. C. D.2圆的参数方程(1)在时刻t，圆周上某点M转过的角度是，点M的坐标是(x，y)，那么t(为角速度)设|OM|r，那么由三角函数定义，有cos t_，sin t_，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)其中参数t的物理意义是
3、_(2)若取为参数，因为t，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为_其中参数的几何意义是：OM0(M0为t0时的位置)绕点O_时针旋转到_的位置时，OM0转过的角度给定参数方程，其中a，b是常数(1)如果r是常数，是参数，那么参数方程表示的曲线是圆心为(a，b)，半径为r的圆；(2)如果是常数，r是参数，那么参数方程表示的曲线是过定点(a，b)，斜率为tan (k，kZ)的直线【做一做2】 直线yaxb通过第一、二、四象限，则圆(为参数)的圆心位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3参数方程和普通方程的互化(1)曲线的_和_是曲线方程的不同形式(2)在参数方程与普通方程的互
4、化中，必须使_保持一致【做一做31】 将参数方程(为参数)化为普通方程为_【做一做32】 已知圆的方程为x2y22x6y90，将它化为参数方程答案：1(1)参数方程参变数参数普通方程【做一做1】 D2(1)质点作匀速圆周运动的时刻(2)(为参数)逆OM【做一做2】 B直线yaxb通过一、二、四象限，则a0，b0，圆心(a，b)在第二象限3(1)参数方程普通方程(2)x，y的取值范围【做一做31】 (x1)2y24由两式平方相加，得(x1)2y24.【做一做32】 解：由x2y22x6y90，得(x1)2(y3)21.令x1cos ，y3sin ，所以参数方程为(为参数)1曲线参数方程的特点剖析
5、：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x，y间的间接联系在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着参数相应的值在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x，y)都能由参数取某一值惟一地确定出来；二是参数与x，y的相互关系比较明显，容易列出方程参数的选取应根据具体条件来考虑，可以是时间，也可以是线段的长度、
6、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少2求曲线参数方程的步骤剖析：第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标画图时要注意根据几何条件选择坐标原点的位置，以利于发现变量之间的关系第二步，选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数惟一确定例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此
7、外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略3参数方程与普通方程的互化剖析：(1)参数方程化为普通方程一般地，将参数方程中的参数消去就会得到普通方程，常采用消去法或代入法进行消参(2)普通方程化为参数方程一般找出变数x，y中的一个与参数t的关系，如：xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是所求的曲线的参数方程(3)消参的常用方法代入法先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程利用代数或三角函数中的恒等式消去
8、参数例如对于参数方程如果t是常数，是参数，那么可以利用公式sin2cos21消参；如果是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(mn)2(mn)24mn消参题型一 曲线的参数方程【例1】 选取适当参数，把直线方程y2x3化为参数方程分析：普通方程化为参数方程的关键是选择合适的参数反思：选择合适的参数是将普通方程化为参数方程的关键题型二 圆的参数方程及应用【例2】 如图，已知点P是圆x2y216上的一个动点，定点A(12,0)，当点P在圆上运动时，利用参数方程求线段PA的中点M的轨迹反思：利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型，是圆的参数方程的主要作用之一题型三 参数方程与普通方程的互化【
9、例3】 (1)指出下列参数方程表示什么曲线(t为参数)；(t为参数)(2)曲线的普通方程为1，写出它的参数方程反思：化普通方程为参数方程，就是要把x，y分别用参数表示出来，所以我们要分别找出参数与x，y的关系，然后表达出来即可，另外要特别注意参数的范围参数方程化为普通方程的关键是消去参数，并且要保证等价性若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过xf(t)，yg(t)，根据t的取值范围推导出x，y的取值范围题型四 易错辨析【例4】 已知点P(x，y)满足方程x2y21(x0，y0)，试求xy的最大值和最小值错解：令则xycos sin sin ()，xy的最大值是，最小值为.反思：在曲线的参数方
10、程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致答案：【例1】 解：选tx，则y2t3，由此得直线的参数方程(t为参数)也可选tx1，则y2t1，参数方程为(t为参数)【例2】 解：设点M(x，y)，圆x2y216的参数方程为(为参数)，设点P(4cos ，4sin )，由线段中点坐标公式得(为参数)，即点M的轨迹的参数方程为(为参数)，点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆【例3】 解：(1)(x1)2(y2)216cos2t16sin2t16，即(x1)2(y2)216，它表示以(1，2)为圆心，半径为4的圆()2()2cos2tsin2t1，即1，它表示中心在原点，焦点在x轴
11、上的椭圆(2)设cos ，sin ，则(为参数)，即为所求的参数方程【例4】 错因分析：忽视了已知条件x0，y0，应对角的范围加以限制正解：设0，xycos sin sin ()0，sin()，1sin()1，xy的最大值是，最小值是1.1当参数变化时，由点P(2cos ，3sin )所确定的曲线过点()A(2,3) B(1,5) C(0，) D(2,0)2将参数方程(为参数)化为普通方程为()Ayx2 Byx2Cyx2(2x3) Dyx2(0y1)3将参数方程(t为参数)，化为普通方程为_4曲线(t为参数)与圆x2y24的交点坐标为_5设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程答案：1D当2cos 2，即cos 1时，3sin 0.2C转化为普通方程为yx2，x2,3，y0,1，故选C.3x2y2(y2)由xt得x2t22，又yt2，x2y2.t22，y2.4(1，)sin t1,1，y0,2方程表示的曲线是线段x1(0y2)令x1，由x2y24，得y23，0y2，y.5.解：如图，在运动开始时，质点位于点A处，此时t0，设动点M(x，y)，对应时刻t，由图可知，又t(t以s为单位)，所求的参数方程为(t为参数，t0)
