1、习题课导数的应用明目标、知重点会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)1若函数yx22bx6在(2,8)内是增函数，则()Ab0 Bb2答案A2已知yasin xsin 3x在x处有极值，则() Aa2 Ba2Ca Da0答案B3设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0,1上的最小值为()A1 B0 C D.答案C解析g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x1，x2(舍去)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g(x)0g(x)0极小值0所以当x时，g(x)有最小值g.4.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)
2、的图象可能为()答案D解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象5若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f(x)0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的_条件答案充分不必要解析对于导数存在的函数f(x)，若f(x)0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f(x)0，如f(x)x3在R上是单调递减的，但f(x)0.题型一函数与其导函数之间的关系例1对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是_答案2n12解析由ky|x22n1(n2)，得切线方程为y2n2n1(n2)(x
3、2)，令x0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0(n1)2n，所以2n，则数列的前n项和Sn2n12.反思与感悟找切点，求斜率是求切线方程的关键跟踪训练1如图，曲线yf(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若PTQ的面积为，则y与y的关系满足()AyyByyCyy2Dy2y答案D解析SPTQy|QT|，|QT|，Q(x，0)，根据导数的几何意义，kPQyy2y.故选D.题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图象关于原点成中心对称(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x1,5时，求函数的最
4、值解函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，f(x)f(x)，得ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x2b0恒成立，解得a1，b0；(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24，令f(x)0，得4x0，得x4.f(x)的递减区间为(4,4)，递增区间为(，4)和(4，)，f(x)极大f(4)128，f(x)极小f(4)128.(3)由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，对f(4)128，f(1)47，f(5)115，所以函数的最大值为47，最小值为12
5、8.小结(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f(x)0得增区间，解f(x)0得减区间(2)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得跟踪训练2已知函数yax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在1,1的最值解y3ax22bx，当x1时，y|x13a2b0，y|x1ab3，即，a6，b9.(2)y6x39x2，y1
6、8x218x，令y0，得x0，或x1，y极小值y|x00.(3)由(1)知，函数yf(x)6x39x2，又f(1)15，f(0)0，f(1)3，所以函数的最大值为15，最小值为0.题型三导数的综合应用例3已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由解(1)f(x)3x2a，因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在R上单调递增，符合题意所以a的取值范围是(，0(
7、2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，则f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0，若函数在给定区间上是减函数，则yf(x)0.3设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b) Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x) Df(x)g(x)f(a)g(a)答案C解析由条件，得0.在(a，b)上是减函数f(b)g(x)4函数f(x)x3x22x5，若对于任
8、意x1,2，都有f(x)m，则实数m的取值范围是_答案(7，)解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得x或x1.可判断求得f(x)maxf(2)7.f(x)7.呈重点、现规律导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法一、基础过关1函数f(x)xcos x的导函数f(x)在区间，上的图象大致是()答案A解析f(x)xcos x，f(x)cos xxsin x.f(x)f(x)，f(x)为偶函数，函数图
9、象关于y轴对称，排除C选项由f(0)1可排除D选项而f(1)cos 1sin 10，从而观察图象即可得到答案为A.2函数yxcos xsin x在下面哪个区间内是增函数()A. B(，2)C. D(2，3)答案B解析ycos xxsin xcos xxsin x，若yf(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y恒大于或等于0即可只有选项B符合题意，当x(，2)时，y0恒成立3已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2)Df(e)f(3)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，f(2)f(e)f(3)4函数yf(x)
10、的图象如下图所示，则导函数yf(x)的图象可能是()答案D解析由yf(x)的图象知，f(x)在(，0)，(0，)上都为减函数，在(，0)，(0，)上，f(x)0，函数f(x)x3ax在1，)上单调递增，则a的最大值为_答案3解析由题意知，f(x)3x2a0(x1)，a3x2，a3.6若函数yx3x2m在2,1上的最大值为，则m_.答案2解析y3x23x3x(x1)由y0，得x0或x1.f(0)m，f(1)m.又f(1)m，f(2)86mm2，f(1)m最大m.m2.二、能力提升7已知函数f(x)、g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()
11、Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)答案A解析设F(x)f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)0时，有f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0时，f(x)0，g(x)0，f(x)，g(x)在(0，)上递增x0时，f(x)递增，g(x)递减x0，g(x)1)在区间1,1上的最大值为1，最小值为2，则f(x)的解析式为_答案f(x)x32x2110已知函数f(x)x3ax23x6，若x3是f(x)的一个极值点，求f(x)在0，a上的最值解f(x)3x22ax3，由已知得f(3)0，396
12、a30.a5，f(x)x35x23x6.令f(x)3x210x30，得x1，x23.则x，f(x)，f(x)的变化关系如下表.x03(3,5)5f(x)00f(x)6递增6递减3递增21f(x)在0,5上的最大值为f(5)21，最小值为f(3)3.11设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)2x2.(1)解f(x)12ax.由已知条件得即解得(2)证明因为f(x)的定义域为(0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.当0x0，当x1时，g(x)0时，g(x)0，即f(x)2x2.三、探究与拓展12已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR)(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围解当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(x22)ex.当f(x)0时，(x22)ex0，注意到ex0，所以x220，解得x0，因此x2(a2)xa0在(1,1)上恒成立，也就是ax1在(1,1)上恒成立设yx1，则y10，即yx1在(1,1)上单调递增，则y11，故a.
