1、馨雅资源网 特殊平行四边形全章复习与巩固（基础）知识讲解 责编：常春芳【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形.3面积：4判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边
2、形是平行四边形 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：4判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线
3、互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2性质：（1）对边平
4、行； （2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3面积：边长边长对角线对角线4判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、如图，在ABC中，ACB=90，BA，点D为边AB的中点，DEBC交AC于点E，CFAB交DE的延长线于点F
5、（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：B=A+DGC【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得ADG=G，再证明B=DCB，A=DCA，然后再推出1=DCB=B，再由A+ADG=1可得A+G=B【答案与解析】证明：（1）DEBC，CFAB，四边形DBCF为平行四边形，DF=BC，D为边AB的中点，DEBC，DE=BC，EF=DF-DE=BC-CB=CB，DE=EF；（2）DBCF，ADG=G，ACB=90，D为边AB的
6、中点，CD=DB=AD，B=DCB，A=DCA，DGDC，DCA+1=90，DCB+DCA=90，1=DCB=B，A+ADG=1，A+G=B【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出ADG=G，1=B掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半类型二、菱形2、（2015遵义）在RtABC中，BAC=90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F（1）求证：AEFDEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积【答案与解析】（1）证明：AFBC，AFE=DBE，E是AD的中点，AD是BC
7、边上的中线，AE=DE，BD=CD，在AFE和DBE中，AFEDBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，AFEDBE，则AF=DBDB=DC，AF=CDAFBC，四边形ADCF是平行四边形，BAC=90，D是BC的中点，E是AD的中点，AD=DC=BC，四边形ADCF是菱形；（3）解：设菱形DC边上的高为h，RTABC斜边BC边上的高也为h，BC=，DC=BC=，h=，菱形ADCF的面积为：DCh=10【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质. 举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如
8、果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由 【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由ADBC，ABCD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AEBC于E，CFAB于FCFBAEB90 AECF（纸带的宽度相等）ABECBF，RtABERtCBF,ABBC,四边形ABCD是菱形. 类型三、矩形3、已知：如图，D是ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，MAMC求证：CDAN；若AMD2MCD，求证：四边形ADCN是矩形【思路点拨】根据两直线平行，内错角相等求出DACNCA，然后利用“角边角”证明AMD和CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得ADCN，然后判定四边形ADCN是平
9、行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出MCDMDC，再根据等角对等边可得MDMC，然后证明ACDN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证【答案与解析】证明：CNAB，DACNCA，在AMD和CMN中，AMDCMN（ASA），ADCN，又ADCN，四边形ADCN是平行四边形，CDAN；AMD2MCD ，AMDMCDMDC，MCDMDC，MDMC，由知四边形ADCN是平行四边形，MDMNMAMC，ACDN，四边形ADCN是矩形【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是
10、直角或对角线相等4、如图所示，在矩形ABCD中，AB6，BC8将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入RtAEF中，由折叠可知CDCF，DEEF，易得AC10，所以AF4，AE8-EF，然后在RtAEF中利用勾股定理求出EF的值 【答案与解析】解：设EF， 由折叠可得：DEEF，CFCD6， 又 在RtADC中， AFACCF4，AEADDE8 在RtAEF中， 即， 解得：3 EF3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解举一反三：【变式】把
11、一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF若AB 3，BC 5，则重叠部分DEF的面积是_【答案】5.1.提示：由题意可知BFDF，设FC，DF5，在RtDFC中，解得，BFDE3.4，则3.435.1.类型四、正方形5、如图，一个含45的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E 点作EFAE交DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AEEF根据正方形的性质推出ABBC，BADHADDCE90，推出HAECEF，根据HEB是以B为直角的等腰直角三角形，得到BHBE，H45，HACE，根据CF平分DCE推出
12、HFCE，根据ASA证HAECEF即可得到答案【答案与解析】 探究：AEEF 证明：BHE为等腰直角三角形, HHEB45，BHBE. 又CF平分DCE，四边形ABCD为正方形， FCEDCE45， HFCE. 由正方形ABCD知B90，HAE90DAE90AEB, 而AEEF，FEC90AEB， HAEFEC. 由正方形ABCD知ABBC，BHABBEBC， HACE, AHEECF （ASA）, AEEF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】（2015黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E若C
13、BF=20，则AED等于 【答案】65。类型五、综合应用6、如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为_形 (1)当四边形满足_条件时，四边形EFGH是菱形 (2)当四边形满足_条件时，四边形EFGH是矩形 (3)当四边形满足_条件时，四边形EFGH是正方形 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性【思路点拨】本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形【答案与解析】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)ACBD，理由：如图，四边形ABCD的对
14、角线ACBD，此时四边形EFGH为平行四边形，且EHBD，HGAC，得EHGH，故四边形EFGH为菱形(2)ACBD，理由：如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形易得GHBD，即GHEH，故四边形EFGH为矩形(3)ACBD且ACBD，理由：如图，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形 【总结升华】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键举一反三：【变式】已知，在四边形ABCD中，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_.【答案】AB=BC或 BC=CD或 CD=DA或DA=AB（答案不唯一）学魁网
