1、专题五函数压轴题阅读与理解函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案类型一 动点函数图象问题 此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数关系式，最后根据函数关系式判断图象的变化 例1 (2016济南) 如图，
2、在四边形ABCD中，ABCD，B90，ABAD5，BC4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AMCE1，AN3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MBBE向点E运动，同时点Q从点N，以相同的速度沿折线NDDCCE向点E运动，设APQ的面积为S，运动的时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（ ）第15题图 【分析】 由点Q从点N出发，沿折线NDDCCE向点E运动，确定出点Q分别在ND，DC，CE运动时对应的t的取值范围，再根据t所在的取值范围分别求出其对应的函数关系式，最后根据函数关系式确定对应的函数图象 【自主解答】过点D作DFAB于点F（如图1），则DFBC4AD5，DF
3、4，AF3sinA，MF312，BFABAF532，DCBF2AD5，AN3，ND532图1 图2 图3（1）当0t2时，点P在MF上，点Q在ND上（如图2），此时APAMMP1t，AQANNQ3tSAPAQsinA(1t)(3t)(t2)2当0t2时，S随t的增大而增大，且当t2时，S6由此可知A、B选项都不对（2）当t5时，点P在MF上，点Q在ND上（如图3），此时BP1，PEBCBPCE4112SABPE52565，选项D正确变式训练1如图，ABC是等腰直角三角形，C90，ACBC，AB4，D为AB上的动点，DPAB交折线ACB于点P.设ADx，ADP的面积为y，则y与x的函数图象正确的
4、是( ) 2(2016烟台)如图，O的半径为1，AD，BC是O的两条相互垂直的直径，点P从点O出发(P点与O点不重合)，沿OCD的路线运动设APx，sinAPBy，那么y与x之间的关系图象大致是()类型二 二次函数的实际问题 解答此类问题时，首先要构建合理的坐标系，并写出对应的函数解析式，并利用二次函数的性质求解后续的问题一般来说，选择的坐标系不同，得出的解析式必然不同，因此解答此类问题时，选择最恰当的坐标系往往显得尤为重要 例2 (2017金华) 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间
5、满足函数表达式y=a（x4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m（1）当a=时，求h的值；通过计算判断此球能否过网（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值【分析】（1）将点P（0，1）代入y=（x4）2+h即可求得h；求出x=5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y=a（x4）2+h代入即可求得a、h【自主解答】解：（1）当a=时，y=（x4）2+h，将点P（0，1）代入，得：16+h=1，解得：h=；把x=5代入y=（x4）2+，得：y=（54）2+=1.625，1.6
6、251.55，此球能过网；（2）把（0，1）、（7，）代入y=a（x4）2+h，得：，解得：，a=变式训练3(2017沈阳)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是_元时，才能在半月内获得最大利润 4、（2017青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录： 淡季旺季未入住房间数100日总收入（元）2400040000（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？（2）今年
7、旺季来临，豪华间的间数不变经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题【自主解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，解得，x+x=600+=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总
8、收入为y元，y=（800+x）（50）=42025，当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元类型三 二次函数的综合题 二次函数作为整套试卷的压轴题，往往会命制三个小问题，其中第一问求解二次函数的解析式，此问题往往利用待定系数法便可解决；第二、三问往往涉及动点问题及存在点问题，此问题需要利用全等三角形、相似三角形、平行四边形、圆等知识综合解答，计算量很大，且题目较为综合 例3 (2017泰安) ）如图，是将抛物线y=x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（1，0），另一个
9、交点为B，与y轴的交点为C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BCNC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证OBC是等腰直角三角形，过点N作NHy轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQOA，设P（t，t2+2t+3），
10、代入y=x+，即可求解【自主解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=（x1）2+k把（1，0）代入得0=（11）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3；（2）在y=x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3B的坐标是（3，0），OB=3，OC=OB，则OBC是等腰直角三角形OCB=45，过点N作NHy轴，垂足是HNCB=90，NCH=45，NH=CH，HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N纵坐标是（a，a2+2a+3）a+3=a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，N的坐标是（1，4）；（3）四边形OAPQ是平行四边形，
11、则PQ=OA=1，且PQOA，设P（t，t2+2t+3），代入y=x+，则t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2t=0，解得t=0或t2+2t+3的值为3或P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）变式训练5(2016襄阳) 如图，已知点A的坐标为（2，0），直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标
12、；（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MNAB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在QMN为等腰直角三角形？解：（1）令x=0代入y=x+3y=3，C（0，3），令y=0代入y=x+3x=4，B（4，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x4），把C（0，3）代入y=a（x+2）（x4），a=，抛物线的解析式为：y=（x+2）（x4）=x2+x+3，顶点D的坐标为（1，）；（2）当DPBC时，此时四边形DEFP是平行四边形，设直线DP的解析式为y=mx+n，直线BC的解析式为：y=x+3，m=，y=
13、x+n，把D（1，）代入y=x+n，n=，直线DP的解析式为y=x+，联立，解得：x=3或x=1（舍去），把x=3代入y=x+，y=，P的坐标为（3，）；（3）由题意可知：0t6，设直线AC的解析式为：y=m1x+n1，把A（2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，得：，解得，直线AC的解析式为：y=x+3，由题意知：QB=t，如图1，当NMQ=90，OQ=4t，令x=4t代入y=x+3，y=t，M（4t， t），MNx轴，N的纵坐标为t，把y=t代入y=x+3，x=t2，N（t2， t），MN=（4t）（2）=6t，MQOC，BQMBOC，MQ=t，当MN=MQ时，6t=t，t=，此时Q
14、B=，符合题意，如图2，当QNM=90时，QB=t，点Q的坐标为（4t，0）令x=4t代入y=x+3，y=9t，N（4t，9t），MNx轴，点M的纵坐标为9t，令y=9t代入y=x+3，x=2t8，M（2t8，9t），MN=（2t8）（4t）=3t12，NQOC，AQNAOC，=，NQ=9t，当NQ=MN时，9t=3t12，t=，此时QB=，符合题意如图3，当NQM=90，过点Q作QEMN于点E，过点M作MFx轴于点F，设QE=a，令y=a代入y=x+3，x=4，M（4a，a），令y=a代入y=x+3，x=2，N（2，0），MN=（4a）（a2）=62a，当MN=2QE时，62a=2a，a=，
15、MF=QE=，MFOC，BMFBCO，=，BF=2，QB=QF+BF=+2=，t=，此情况符合题意，综上所述，当QMN为等腰直角三角形时，此时t=或或6(2017潍坊) 如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由解：（1）由题
16、意可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+3；（2）A（0，3），D（2，3），BC=AD=2，B（1，0），C（1，0），线段AC的中点为（，），直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，直线l过平行四边形的对称中心，A、D关于对称轴对称，抛物线对称轴为x=1，E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，直线l的解析式为y=x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，F（，），如图1，作PHx轴，交l于点M，作FNPH，P点横坐标为t，P（t，t2+2t+3），M（t，t+），PM=t2+2t+3（t+）=t2+t+，SPEF=SPFM+SPEM
17、=PMFN+PMEH=PM（FN+EH）=（t2+t+）（3+）=（t）+，当t=时，PEF的面积最大，其最大值为，最大值的立方根为=；（3）由图可知PEA90，只能有PAE=90或APE=90，当PAE=90时，如图2，作PGy轴，OA=OE，OAE=OEA=45，PAG=APG=45，PG=AG，t=t2+2t+33，即t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），当APE=90时，如图3，作PKx轴，AQPK，则PK=t2+2t+3，AQ=t，KE=3t，PQ=t2+2t+33=t2+2t，APQ+KPE=APQ+PAQ=90，PAQ=KPE，且PKE=PQA，PKEAQP，=，即=，即t2t1=0，解得t=或t=（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或
