1、小学数学思维训练 -不定方程一、知识讲解所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，方程的解不能唯一确定的方程或方程组。古希腊数学家丢番图于公元3世纪初就开始研究过不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。中国是研究不定方程最早的国家。学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。本讲主要学习二元一次不定方程和三元一次不定方程的解法，以及运用不定方程解答一些简单实际问题的方法。不定方程的解常常会附加一些限制条件，如要求是整数、自然数或正整数等等，这些条件对不定方程的求解至关重要，解题过程中要认真分析，尤其是要注重挖掘题中隐藏的一些限制条件。在解不定方程时，通常将
2、原方程变形为用含有一个未知数的代数式表示出另一个未知数的形式，再根据题中的限制条件，寻找合适的解。在解不定方程时，常规方法有观察法、试验法、列举法。如果再能合理运用以下几个技巧，就可以大大提高解题速度。 1.系数上的考虑（变形）如求7x2y =38的整数解，我们变形为：y=（38-7x）2=19-3x-（1/2）x。由于x、y都是自然数，由上述变形可知，x应是2的倍数，可以取2，4。所以在解不定方程时，一定要注意未知数前面的系数，选择恰当的变形来解不定方程。2.尾数上的考虑（个位）如求5x+4y=59的自然数解。和的个位数是9，说明5x的个位数字一定是5，那么x一定取奇数；4y的个位数字一定是
3、4，那么y只能是1、4、6、11、14。这样解的过程就容易多了，速度也上来了。3.奇偶性上的考虑上道例题还可以从数的奇偶性入手考虑。59是一个奇数，4y一定是个偶数，那么，5x就一定是个奇数，那么x取值只能取奇数，如1、3、5，也能起到简便解题过程的作用。 4.倍数关系上的考虑 如求不定方程2x+3y=21的自然数解。我们注意到，21是3的倍数，3y肯定也是3的倍数，2x=21-3y，那么2x也应是3的倍数，这样x只能取是3的倍数的数了，如：0、3、6等等，这样就能简化解题过程了。二、例题解析例1 求2x+5y=17的整数解。分析：（一）观察法，并结合奇偶性或尾数上进行考虑。（1）17是奇数,
4、2x一定是偶数，那么，5y就一定是个奇数，那么y取值只能取奇数，如1、3、5解法一：观察2x+5y=17，17是奇数,2x一定是偶数，说明5y的个位数字一定是5，那么y一定取奇数。当y=1时，x=6；当y=3时，x=1。解法二：把2x+5y=17变形为：x=(17-5y)2，再列表试验求解。y123x63.51所以，2x+5y=17的整数解为： x=6 x=1 y=1 y=3在解不定方程时，可将原方程变形，变为一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来，再根据题中的限制条件，寻找合适的解。例2 将球装入两种盒子中, 每个大盒子装12个, 每个小盒子装5个，正好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9
5、，大盒和小盒各多少个？分析：两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。结合奇偶性、尾数分析，99是奇数，12x是偶数，5y尾数是5，12x尾数是4，x取2、7。经列举试验，x=2时，y=15；x=7时，y=3。所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。由例2可以看出，对于不定方程，要尽量缩小未知数的取值范围，再求解。不定方程常常利用奇偶性和尾数来帮助解决例3买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？分析：该题共有三个未知量，可以设出两个未知数，再设法表示出第三个未知量
6、，列出不定方程。再根据条件求解。解：设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30xy）千克。根据由式子(1)可知：y0,所以a3.来源:学科网ZXXK将a=1,2,3代入知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).3. x=2,y=34. 26 设买了x大盒，y小盒。23x+16y=500 解得：x=12,y=14;x+y=26.5. 3 3 8设老师x人，男生y人，女生z人。 x+y+z=14 12x+8y+5z=100解得：x=3,y=3,z=8（三）解答：1. 解：设小明买甲种商品x份，乙种商品y份，可以列不定方程如下：7x+3y=60，由于3、60均为3的倍数，且60-7x0，x8
7、，又因为7x一定能被3整除，所以小明用60元买两种商品16份或12份。本题关键是确定7x的取值范围。 2. 解：设考25题、20题依次为x次和y次，可列不定方程如下： (25-16)x+(20-16)y=426-1624 9x+4y=4242-9x0，所以x4，且4和42均能被2整除，因此只能取0、2、4。当x=0 时，y=10 当x=2时， y=6当x=4时, y= 可以考25题的共有2次。判断出x的范围小于或等于4，再确定不能取偶数是求解的关键。3. 解：设甲用a分钟洗盘子，(20-a)分钟洗碗，乙用b分钟洗盘子，(20-b)分钟洗碗。 由上式知，b为偶数，所以a=l，6，ll或16。当a
8、=1，6，ll时，b20不合题意。所以a=16，b=18。共洗了盘子3a+2b=84(个)，洗了碗134-84=50(个)。 本题先用未知数分别表示甲、乙洗盘子和碗的时间，再列不定方程。4. 解：设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根，则可以看方程36x+24y=374 是否有解。由于36、24均能被4整除，374被4除余2，所以此方程无整数解。若剩余部分最少是2厘米，则列方程36x+24y=372即 3x+2y=31 当 x=1时，y=14。因此可以截成1根36厘米和14根24厘米两种型号的铝管，此时剩余部分最少为2厘米。5. 解：设套中小鸡x次，小侯y次，小狗z次。则 x+y+z=10 9x+5y+2z=61解得：x=5,y=2,z=3所以小鸡至多被套中5次。
