1、学海在线资源中心 平面向量的数量积及应用编稿：李霞 审稿：孙永钊【考纲要求】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【知识网络】平面向量数量积及应用平面向量的数量积平面向量的应用平面向量的坐标运算【考点梳理】考点一、向量的数量积1. 定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为q，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即.规定：零向量与任一向量的数
2、量积为0.要点诠释：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 .（2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0q180.此外，由于向量具有方向性，一定要找准 q是哪个角.2. 平面向量的数量积的几何意义我们规定叫做向量在方向上的投影，当q为锐角时，为正值；当q为钝角时，为负值；当q=0时，；当q=90时，；当q=180时，.的几何意义：数量积等于的长度与 在方向上的投影的乘积.要点诠释：在方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.3. 性质：（1） (2) 当与同向时，；当与反向时，. 特别地(3) (4) 4. 运算律设已知向量、和实
3、数，则向量的数量积满足下列运算律：(1) (交换律)(2) (3) 要点诠释：当时，由不一定能推出，这是因为对任何一个与垂直的向量，都有；当时，也不一定能推出，因为由，得，即与垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律.对于实数，有，但对于向量来说，不一定相等，这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线，所以与不一定相等.5. 向量的数量积的坐标运算已知两个非零向量，那么；若，则；若，则，这就是平面内两点间的距离公式；若，则6. 重要不等式若，则 考点二、向量的应用（1）向量在几何中的应用 证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；（）证明垂直问题，常
4、用垂直的充要条件；求夹角问题；利用夹角公式：.平面向量的夹角求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模或.（2）向量在物理中的应用向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；向量在速度的分解与合成中的应用.【典型例题】类型一、数量积的概念例1已知，分别满足下列条件，求与.(1) ； (2)； (3)夹角为【解析】(1) 当时，分两种情况：若同向，则，。若反向，则，。(2)当时，。(3)当的夹角为时，.【总结升华】仍旧是一个向量，它们的模根据公式即为自身数量积的平方根. 数量积运算是沟通向量与数量的桥梁.举一反三：【变式1】已知向量与的夹角为，且，那么的值为 【答案】0；【解析】.【变式2】已知
5、向量与的夹角为120，则_【答案】7【解析】 ,.【变式3】两个非零向量、互相垂直，给出下列各式：；. 其中正确的式子有（ ）A2个 B3个 C4个 D5个【答案】B【解析】显然正确；由向量运算的三角形法则知与长度相等，但方向不同，所以错误；正确；由向量数量积的运算律可知正确；只有在时，与才互相垂直，错误，故正确，故选B.例2.（2016 北京高考）已知向量 ，则与夹角的大小为_.【答案】30【解析】（），所以，根据数量积公式，得故与夹角的大小为30。【总结升华】考查平面向量数量的角度问题，注意运用数量积的运算性质及夹角的范围，公式合理的选用有助于分析解决问题.举一反三： 【变式1】若向量满足
6、，与的夹角为，则（ ）2【答案】B；【解析】，故。【变式2】若，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ）。A. B.（2，+） C. D.【答案】A；【解析】与的夹角为钝角，且与不能反向，即且故【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例1】【变式3】若，且，则向量与的夹角为（ ）（A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500 【答案】C例3.若、均为单位向量，且，的最大值为_【答案】【解析】因为、均为单位向量，且，设=（1，0），=（0，1），,故的最大值为.【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意本题是转换为代数运算求最值问
7、题.举一反三：【变式】已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）A1 B2 C D【答案】C【解析】，的最大值为.故选C. 类型二、数量积的综合应用例4. （2015淮北二模）在平面直角坐标系中，已知A（ cosx，1），B（l，sinx），X R，（）求|AB|的最小值；（）设，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象求函数g（x）的对称中心【解析】（）|AB|=|AB|的最小值为=1；（）=cosxsinx=cos（x+），将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）=cos
8、（x+），令x+=k+，可得x=2k+，函数g（x）的对称中心为（2k+，0）（k Z）【总结升华】平面向量有几何和代数两种形式，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以可以说，向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中的一个重要思想方法，因此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的概念、运算加以考察外，更重要的是他与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等综合问题，从而考察学生综合解决问题的能力.举一反三：【变式1】（2015浦东新区一模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=c，A的平分线为AD，若（1）当m=2时，求cosA的值；（2）当时，求实数m的取值范围【解析】（1）由题意得，=（+）；故（+）=2；故2=3；故cosA=；（2）=|cosA=；故m=+=+=+；，（）2（1，）；故1；在+2【变式2】平面上O，A，B三点不共线，设，则OAB的面积等于（ ）A BC D【答案】C 【解析】 ，故选C.
