1、学海在线资源中心 集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集在具体情境中，了解空集和全集的含义2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集【要点梳理】要点一：集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：要点诠释：
2、（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系，则A与B中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作要点二：集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：AB读作：“A并B”，即：AB=x|xA，或xBVenn图表示：要点
3、诠释：（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：AB，读作：“A交B”，即AB=x|xA，且xB；交集的Venn图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AB中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于AB”（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元
4、素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其
5、他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）4.集合基本运算的一些结论：若AB=A，则，反之也成立若AB=B，则，反之也成立若x(AB)，则xA且xB若x(AB)，则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一：集合间的关系例1. 请判断00 ；，正确的有哪些？【答案】【解析】错误，因为0是集合中的元素，应是；中都是元素与集合的关系，正确；正确，因为是任何集合的子集
6、，是任何非空集合的真子集，而中的为非空集合；错误，是没有任何元素的集合【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1) x|x|1 x|x21；(2)y|y=2x2 y|y=3x2-1； (3)x|x|1 x|x1；(4)(x，y)|-2x2 (x，y)|-1x2【答案】 (1)= (2) (3) (4) 【总结升华】区分元素与集合间的关系，集合与集合间的关系.例2.（2015秋 确山县期中）已知A=xx24=0，B=xax6=0，
7、且B是A的子集（1）求a的取值集合M；（2）写出集合M的所有非空真子集【思路点拨】对（1）根据A集合中的元素，分类讨论B的可能情况，再注解a，写出集合M根据含有n个元素的集合的真子集个数是2n1，求解（2）【答案】（1）M=0，3，3；（2）0，3，3，0，3，0，3，3，3【解析】（1）A=2，2B是A的子集，B=，2，2，B=时，方程ax6=0无解，得a=0；B=2时，方程ax6=0的解为x=2，得2a6=0，所以a=3；B=2时，方程ax6=0的解为x=2，得2a6=0，所以a=3所以a的取值集合M=0，3，3（2）M=0，3，3的非空真子集为0，3，3，0，3，0，3，3，3【总结升华
8、】本题考查集合的子集问题，含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n1；非空真子集个数是2n2举一反三：【变式1】已知，则这样的集合有 个.【答案】7个【变式2】同时满足：；，则的非空集合有（ ）A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个【答案】C 【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.【变式3】已知集合A=1，3，a， B=a2，并且B是A的真子集，求实数a的取值.【答案】 a=-1， a=或a=0【解析】， a2A， 则有：（1）a2=1a=1，当a=1时与元素的互异性不符，a=-1；（2）a2=3a=（3）a2=aa=0， a=1，舍去
9、a=1，则a=0综上：a=-1， a=或a=0.注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430 例2】例3. 设M=x|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，则M与N满足( )A. M=N B. MN C. NM D. MN=【答案】B【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.例4已知若M=N，则= A200 B20
10、0 C100 D0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性【答案】D【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由00，|x|，y可知若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x0.若xy=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy0若，则x=y，M，N可写为M=x，x2，0，N=0，|x|，x由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=1当x=1时，M中元素|x|与x相同，破
11、坏了M中元素互异性，故 x1当x=-1时，M=-1，1，0，N=0，1，-1符合题意，综上可知，x=y=-1=-2+2-2+2+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点举一反三：【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：当b=1时，a=-1，当时，b=a且a+b=0，a=b=0(舍)综上：a=-1，b=1，b-a=2.类型二：集合的运算例5.（1）（2014 湖北武汉期中）已知；，则AB（ ）A B C2，2 D（2）设集合M=3，a，N=x|
12、x22x0，xZ，MN=1，则MN为（ ）A 1，2，a B 1，2，3，a C 1，2，3 D 1，3【思路点拨】（1）先把集合A、B进行化简，再利用数轴进行相应的集合运算（2）先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题【答案】（1）C （2）D【解析】（1）集合A、B均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：A=y|y2，B=y|y2，所以AB=y|2y2，选C（2）由N=x|x22x0，xZ可得：N=x|0x2，xZ=1，又由MN=1，可知1M，即a=1，故选D举一反三：【变式1】设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且AB=，求
13、AB.【答案】， ，-4【解析】AB=，是方程2x2+px+q=0的解，则有： (1)，同理有：6()2+(2-p)+5+q=0(2)联立方程(1)(2)得到：方程(1)为2x2+7x-4=0，方程的解为：x1=， x2=-4， ，由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3=， x4=，B=， ，则AB=， ，-4.【高清课堂：集合的运算377474 例5】【变式2】设集合A=2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，若AB=2，3，求AB.【答案】 2，3，6，18【解析】由AB=2，3，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以32，a2-2a，6，则必有a2-2a=3，解
14、方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A=2，3，6，B=2，18，3AB=2，3，62，18，3=2，3，6，18当a=-1时，A=2，3，6，B=2，2，-9这既不满足条件AB=2，3，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.综上AB=2，3，6，18【高清课堂：集合的运算 377474 例6】例6. 设全集U=xN+|x8，若A(CuB)=1，8，(CuA)B=2，6，(CuA)(CuB)=4，7，求集合A，B.【答案】A=1，3，5，8，B=2，3，5，6【解析】全集U=1，2，3，4，5，6，7，8由A(CuB)=1，8知，在A中且不在B中的元素有1，8
15、；由(CuA)B=2，6，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)(CuB)=4，7，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在AB中.由集合的图示可得A=1，3，5，8，B=2，3，5，6.类型三：集合运算综合应用例7（2014 北京西城学探诊）已知集合A=x|4x2， B=x|1x3，C=x|xa，aR（1）若（AB）C=，求实数a的取值范围；（2）若（AB）C，求实数a的取值范围【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点【答案】（1）a3 （2）a4【解析】（1）A=x|4x2， B=x|1x3，又（AB）C=，如图，a3；（2）画数轴同理可得：a4【总结升华】此问
16、题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题举一反三：【变式1】已知集合P=xx21,M=a.若PM=P,则a的取值范围是（ ）A(-, -1 B1, +） C-1，1 D（-，-1 1，+） 【答案】C 【解析】又 ， ， 故选C例8. 设集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【思路点拨】明确、的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.【答案】（1）或；（2）【解析】 首先化简集合，得.（1）由，则有，可知集合为，或为、，或为.若时，解得.若,代入得.当时，符合
17、题意；当时，也符合题意.若，代入得，解得或.当时，已讨论，符合题意；当时，不符合题意.由，得或.（2）.又，而至多只有两个根，因此应有，由（1）知.【总结升华】两个等价转化：非常重要，注意应用.另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.举一反三：【变式1】（2015 源汇区一模）设A=xx2+4x=0，B=xx2+2(a+1)x+a21=0，其中xR，如果AB=B，求实数a的取值范围【答案】a=1或a1【解析】A=xx2+4x=0=0，4，AB=B知，B=0或B=4或B=0，4或，若B=0时，x2+2(a+1)x+a21=0有两个相等的根0，则，a=1，若B=4时，x2+2(a+1)x+a21=0有两个相等的根4，则，a无解，若B=0，4时，x2+2(a+1)x+a21=0有两个不相等的根0和4，则，a=1，当时，x2+2(a+1)x+a21=0无实数根，=2(a+1)24(a21)=8a+80，得a1，综上，a=1或a1
