1、学海在线资源中心 函数与方程【学习目标】(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.【要点梳理】要点一：函数的零点1.函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；函数的零点就是方程的实数根零点都是指变号零点（函数图
2、象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点）归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点
3、，即存在一点，使，这个也就是方程的根.要点诠释：满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的故在内有零点，不一定有若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点（3）利用数形结合法函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系（1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=
4、0（a0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：当x1x2k时，有；当kx1x2时，有；当x1kx2时，；当x1，x2（k1，k2）时，有；当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有要点诠释：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧设一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个实根为x
5、1，x2，且x1x2；x1=0，x20c=0，且；x10，x2=0c=0，且要点三：二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：如果，则就是的零点，计算终止；如果，则零点位于区间中，令；如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 .计算和，并判断：如果，则
6、就是的零点，计算终止；如果，则零点位于区间中，令；如果，则零点位于区间中，令；继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：区间长度尽量小；、的值比较容易计算且（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根【经典例题】类型一、求函数的零点例1已知函数 （1）解方程(x+3)(x+1)(x2)=0；（2）画出函数的图象（简图），并求出函数的零点；（3）讨论函
7、数在零点两侧的函数值的正负【解析】（1）方程有三个根x1=3，x2=1，x3=2（2）函数的图象如右图，零点为3，1，2（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数的零点3左侧的函数值为负，在零点3的右侧与零点1的左侧的函数值为正，零点1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x2=0，所以x=3或x=1或x=2；（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；（3）在x轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值
8、就为负举一反三：【变式1】已知函数，且m，n是方程的两个根（mn），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）Amabn Bamnb Cmanb Dambn【答案】B【解析】由函数，我们可以看到a、b为的零点，且，如右图，则应有amnb，故选B例2.若一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，那么函数的零点是 【思路点拨】由题意可知，2a+b=0，即b=2a；代入并令g（x）=0解得x=0或【答案】0，【解析】一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，2a+b=0，即b=2a；令，解得，x=0或；故答案为：0，【总结升华】本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系举一反三：【变式1】求函数：(1)；
9、(2)的零点.【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2【解析】(1)由求根公式解得(2)方程可化为由知所以函数的零点为-3，1；函数的零点为-3，1，2.【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.类型二、函数零点的存在性定理例3已知函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？【答案】没有实数根【解析】先求出及的值，进而确定和的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定在上有实数根，且函数的图象是连续曲线，在区间内有实数根【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似
10、根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理需要注意的是，方程在区间内有实数根，不一定有举一反三：【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：（1）（2）；（3）【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在【解析】（1）故在上存在零点（2）故在区间上存在零点（3），故在区间上存在零点【高清课程：函数与方程377543 例3】【变式2】若函数，则下列判断正确的是（ ）A方程f（x）=0在区间0，1内一定有解B方程f（x）=0在区间0，1内一定无解C函数f（x）是奇函数D函数f（x）是偶函数【答案】A类型三、一元二次方程根的分布例4已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 （1）若方程有两根，其
11、中一根在区间（1，0）和（1，2）内，求的取值范围（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）条件说明函数的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知， （2）函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有【总结升华】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用举一反三：【变式1】关于x的方程ax22(a+1)x+a1=0，求a为何值时：（1）方程有一根；（2）方程有一正一负根；（3）方程两根都大于1；（4）方程有一根大于1，一根
12、小于1【答案】（1）或（2）（3）不存在实数（4）【解析】（1）当a=0时，方程变为2x1=0，即，符合题意；当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得综上可知，当或时，关于的方程ax22(a+1)x+a1=0有一根（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得又解得（3）方程两根都大于1，图象大致如图所以必须满足或两不等式组均无解所以不存在实数，使方程两根都大于1（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图所以必须满足或解得类型四、用二分法求函数的零点的近似值例5.（2016 河南许昌月考）已知函数（1）求证：f（x）在区间（1，2）上存在零点；（2）若f（x）的一个正数零
13、点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f（x）=0的一个近似解（精确到0.1）【思路点拨】（1）根据函数零点存在定理即可判断 （2）由二分法的定义进行判断，根据其原理零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越接近的特征选择正确答案【答案】（1）略；（2）1.3【解析】（1）证明：，f（1）=10，f（2）=70，f（1）f（2）=70且在（1，2）内连续，所以f（x）在区间（1，2）上存在零点；（2）由（1）知在（1，2）内存在零点，由表知，f（1）=1，f（1.5）=1，f（1）f（1.5）0，f（x）的零点在（1，1.5）上，f（1.25）=0.40625，f（1.25）f（1.5
14、）0，f（x）的零点在（1.25，1.5）上，f（1.375）=0.18359，f（1.25）f（1.375）0，f（x）的零点在（1.25，1.375）上；f（1.3125）=0.31818，f（1.3125）f（1.375）0，f（x）的零点在（1.3125，1.375）上，f（1.34375）=0.01581，f（1.3125）f（1.34375）0，f（x）的零点在（1.3125，1.34375）上，由于1.343751.3125=0.031250，且1.31251.3，1.343751.3，所以f（x）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3【总结升华】本题考查二分法求方程的近似解，求
15、解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解，属于基本概念的运用题举一反三：【高清课程：函数与方程377543 例4】【变式1】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f（1）=2f（1.5）=0.625f（1.25）=0.984f（1.375）=0.260f（1.4375）=0. 162f（1.40625）=0. 054那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A1.2 B1.3C1.4D1.5【答案】C【变式2】设，用二分法求方程在x（1，2）内近似解的过程中得f（1）0，f（1.5）0，f（1.25）0，则方程的根落在区间
16、（ ）A（1，1.25） B（1.25，1.5） C（1.5，2） D不能确定【思路点拨】由已知“方程在x（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）0，f（1.25）0，它们异号【答案】B【解析】f（1.5）f（1.25）0，由零点存在定理，得，方程的根落在区间（1.25，1.5）故选B【总结升华】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点类型五、用二分法解决实际问题例6.某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑
17、生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益（1）求2010年每台电脑的生产成本；（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求20062010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）【答案】（1）3200；（2）11%【解析】（1）设2010年每台电脑的生产成本为P元，根据题意，得P(1+50%)=5000(1+20%)80%，解得P=3200（元）故2010年每台电脑的生产成本为3200元（2
18、）设20062010年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5000(1x)4=3200（0x1），令f(x)=5000(1x)43200，作出x，f (x)的对应值表：x00.10.150.20.30.45f (x)180080.5590115320002742观察上表，可知f (0.1)f (0.15)0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x0取区间（0.1，0.15）的中点x1=0.125，可得f (0.125)269因为f (0.125)f (0.1)0，所以x0(0.1，0.125)再取（0.1，0.125）的中点x2=0.1125，可得f (0.1125)98因为f
19、 (0.1)f (0.1125)0，所以x0(0.1，0.1125)同理可得，x0(0.1，0.10625)，x0(0.103125，0.10625)，x0(0.104687，0.10625)，x0(0.10546875，0.10625)，由于|0.105468750.10625|0.01，所以原方程的近似解为0.11故20062010生产成本平均每年降低的百分率为11%举一反三：【变式1】如右图所示，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子（1）求出盒子的体积y（cm3）以x（cm）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
20、（2）如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？（精确到0.1 cm）【答案】（1）y=x(152x)2 0x7.5 （2）0.8 cm或4.7 cm【解析】（1）由题意，盒子的体积y以x为自变量的函数解析式y=x(152x)2，其定义域为，即0x7.5（2）原问题可转化为当y=150时，求方程x(152x)2=150的近似解设g(x)=x(152x)2150，由于g(0)g(1)0且g(4)g(5)0所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.81250.875|=0.06250.1；在区间（4，5）内的近似解为4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.6264.6875|=0.06250.1所以截去的小正方形的边长是0.8 cm或4.7 cm
