1、学海在线资源中心 动量守恒定律的应用（碰撞）编稿：张金虎 审稿：吴楠楠 【学习目标】1知道什么是弹性碰撞和非弹性碰撞；2知道什么是对心碰撞和非对心碰撞及散射现象；3会运用动量守恒定律分析，解决碰撞物体相互作用的问题【要点梳理】要点一、碰撞 1碰撞及类碰撞过程的特点 （1）时间特点：在碰撞、爆炸等现象中，相互作用时间很短 （2）相互作用力特点：在相互作用过程中，相互作用力先是急剧增大，然后再急剧减小，平均作用力很大 （3）动量守恒条件特点：系统的内力远远大于外力，所以，系统即使所受外力之和不为零，外力也可以忽略，系统的总动量守恒 （4）位移特点：碰撞、爆炸过程是在一瞬间发生的，时间极短，所以，在
2、物体发生碰撞、爆炸的瞬间，可忽略物体的位移可以认为物体在碰撞、爆炸前后仍在同一位置（5）能量特点：碰撞过程中，一般伴随着机械能的损失，碰撞后系统的总动能要小于或等于碰撞前系统的总动能，即：（6）速度特点：碰后必须保证不穿透对方2碰撞的分类 （1）按碰撞过程中动能的损失情况，可将碰撞分为弹性碰撞和非弹性碰撞弹性碰撞：碰撞过程中机械能不损失，即碰撞前后系统总动能守恒：非弹性碰撞；碰撞过程中机械能有损失，系统总动能不守恒： 完全非弹性碰撞：碰撞后两物体“合”为一体，具有共同的速度，这种碰撞动能损失最大 （2）按碰撞前后，物体的运动方向是否沿同一条直线，可将碰撞分为正碰和斜碰 正碰：碰撞前后，物体的运
3、动方向在同一条直线上，也叫对心碰撞 斜碰：碰撞前后，物体的运动方向不在同一条直线上，也叫非对心碰撞 高中阶段一般只研究正碰的情况 散射 指微观粒子之间的碰撞 要点诠释：由于粒子与物质微粒的碰撞并非直接接触，而是相互靠近，且发生对心碰撞的概率很小，所以多数粒子在碰撞后飞向四面八方要点二、碰撞问题的处理方法 1解析碰撞问题的三个依据（1）动量守恒，即（2）动能不增加，即或（3）速度要符合情境：如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度必大于前面物体的速度，即，否则无法实现碰撞碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体速度大于或等于原来在后的物体的速度即，否则碰撞没有结束如果碰前两物体是相
4、向运动，则碰后，两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零2爆炸问题 爆炸与碰撞的共同点是物理过程剧烈，系统内物体的相互作用力（内力）很大，过程持续时间很短，即使系统所受合外力不为零，但合外力的冲量几乎为零，故系统的动量几乎不变，所以爆炸过程中可以近似认为动量守恒 要点诠释：爆炸与碰撞的不同点是爆炸过程中有其他形式的能向动能转化，故爆炸过程中系统的动能会增加要点三、弹性正碰 1弹性正碰的讨论如图所示，在光滑水平面上质量为的小球以速度与质量为的静止小球发生弹性正碰讨论碰后两球的速度和 根据动量守恒和动能守恒有： ， ， 解上面两式可得：碰后的速度 ， 碰后的速度 讨论：（1）若，
5、和都是正值，表示和都与方向相同（若，则：，表示的速度不变，以的速度被撞出去） （2）若，为负值，表示与方向相反，被弹回（若，这时，表示被反向以原速率弹回，而仍静止）（3）若，则有，即碰后两球速度互换2拓展 设在光滑的水平面上质量为的小球以速度去碰撞质量为、速度为的小球发生弹性正碰，试求碰后两球的速度和。根据动量守恒定律和动能守恒有： 可得：同学们可以自己讨论由于两个物体质量的关系而引起的碰撞后两物体的不同运动情况。要点四、碰撞的临界问题碰撞的物理特征是相互作用时间短暂，作用力大相互作用的两个物体在很多情况下可当作碰撞处理，比如各种打击现象，车辆的挂接、绳的绷紧过程等那么对相互作用中两物体相距恰
6、“最近”、相距恰“最远”或恰上升到“最高点”等一类临界问题，求解的关键都是“速度相等”具体分析如下：（1） 如图所示： 光滑水平面上的物体以速度去撞击静止的物体，两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大（2） 如图所示： 物体以速度滑到静止在光滑水平面上的小车上，当在上滑行的距离最远时，相对静止，两物体的速度必定相等（3） 如图所示： 质量为的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为的小球以速度向滑块滚来设小球不能越过滑块，则小球到达滑块上的最高点时（即小球竖直方向上的速度为零），两物体的速度肯定相等（方向为水平向右） 历史上查德威克通过测量中子
7、质量从而发现中子中子的发现运用了动量守恒定律和能量守恒定律，证明了这两个定律的普遍适用性 【例】1930年科学家用放射性物质中产生的粒子轰击铍时，产生了一种看不见的、贯穿能力极强的不带电未知粒子该未知粒子跟静止的氢核正碰，测出碰撞后氢核速度是，该未知粒子跟静止的氮核正碰，测出碰撞后氮核速度是已知氢核质量是，氮核质量是，假定上述碰撞是弹性碰撞，求未知粒子的质量 【解析】设未知粒子质量为，初速为，与氢核碰撞后速度为，根据动量守恒和动能守恒有 ， ， 联立解得 同理，对于该粒子与氮核碰撞有 联立解得 这种未知粒子质量跟氢核质量差不多（即中子）【典型例题】类型一、碰撞中的可能性问题 例1质量为的小球，
8、沿光滑水平面以速度与质量为的静止小球发生正碰碰撞后，球的动能变为原来的，那么小球的速度可能是（ ）A B C D 【思路点拨】动量守恒定律是一个矢量式，所以要注意球速度的方向性。【答案】A、B【解析】要注意的是，两球的碰撞不一定是弹性碰撞，球碰后动能变为原来的19，则其速度大小仅为原来的两球在光滑水平面上正碰，碰后球的运动有两种可能，继续沿原方向运动或被反弹当以球原来的速度方向为正方向时，则 ， 根据两球碰撞前、后的总动量守恒，有 ， 解得 ， 【总结升华】在本题中告诉球碰后的动能而非速度，所以在应用动量守恒时造成了第一个困难；动量守恒定律是一个矢量式，所以要注意球速度的方向性，而题中告诉的是
9、球的动能，由此求出的是速度的大小，往往只考虑到球碰后速度的一个方向从而造成答案不全面举一反三：【高清课堂：碰撞 例2】【变式1】在光滑水平面上,动能为、动量的大小为的小钢球与静止小钢球发生碰撞.碰撞前后球的运动方向相反.将碰撞后球的动能和动量的大小分别记为，球的动能和动量的大小分别记为,则必有（ ） A BC D 【答案】ABD【解析】分别运用、进行分析即可得出正确结论。【变式2】质量为的物块以速度运动，与质量为的静止物块发生正碰，碰撞两者的动量正好相等.两者质量之比可能是（ ）【答案】AB【解析】设碰前的动量为,碰后的动量为,由动量守恒定律得 由能量关系得.【高清课堂：碰撞 例3】【变式3】
10、甲乙两球在水平光滑轨道上向同方向运动，已知它们的动量分别是，甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为。则两球质量与间的关系可能是下面的哪几种？（ ） A B C D 【答案】C【解析】动量守恒： 能量不增加： 得：符合实际： 得： 得：综上：所以C正确。例2质量相等的、两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，球的动量是，球的动量是，当球追上球时发生碰撞，则碰撞后、两球的动量可能值为：（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】碰撞前后动量守恒：，可验证ABC都有可能，而总动能只有守恒或者减少即：，可知只有A选项是正确的。【总结升华】此题属于碰撞类问题，解答此题要注意，两球的碰撞不一
11、定是弹性碰撞，所以它们的动量守恒，但动能不一定守恒。碰撞要符合：(1)动量守恒，即；(2)动能不增加，即或者；(3)速度要符合场景：碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体速度大于或等于原来在后的物体的速度。即举一反三：【变式1】在一条直线上，运动方向相反的两球发生正碰。以球的运动方向为正，碰前球、球的动量分别是。若两球所在的水平面是光滑的，碰后各自的动量可能是：（ ）A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】碰撞前后动量守恒：，而总动能只有守恒或者减少：经计算可知D选项错误；再仔细分析A、B、C中的速度关系，发现选项A中，碰后两小球的速度方向不变，好像二者相互穿过一样，故A
12、错误。【高清课堂：碰撞 例1】【变式2】在光滑的水平面上一个质量的大球以的速度撞击一个静止在水平面上的质量为的小球。用和表示碰撞后大球和小球的速度，下列几组数据中哪些是可能发生的，哪些是不可能发生，原因是什么？(1)(2) (3)(4) (5)(6)【答案】(1) (2) (3) 不可能；(4) (5) (6) 可能.【解析】总动量：，总能量：.用和表示碰撞后大球和小球的速度： 若弹性碰撞： 若完全非弹性碰撞：的速度范围：的速度范围：逐条分析：(1) 动量不守恒 （不可能）(2) 不符合常理 （不可能） (3) 能量不守恒 （不可能）(4) 弹性碰撞 （可能）(5) 完全非弹性碰撞 （可能）(
13、6) 一般非弹性碰撞 （可能）类型二、弹性碰撞例3两个完全相同的小钢球在光滑的水平面上分别以和的速率相向运动，求它们发生正碰后的速度和。 【思路点拨】弹性碰撞不仅符合动量守恒而且也符合能量守恒，两者要结合起来应用。【答案】；.【解析】设两个小球的质量分别为和，碰前的速度分别为和，碰撞后的速度分别为和，有：可得：【总结升华】两个小球的碰撞看成是弹性碰撞，所以碰撞中的动量能量都守恒。碰后两球交换速度。弹性碰撞不仅符合动量守恒而且也符合能量守恒，两者要结合起来应用。举一反三： 【变式】速度为的氦核与静止的质子发生正碰，氦核的质量为质子的4倍，碰撞是弹性碰撞，求碰撞后两个粒子的速度。【答案】 【解析】
14、设质子的质量为则氦核的质量为，碰前的速度氦核为质子为，碰撞后的速度分别为和，有 可得： 类型三、完全非弹性碰撞例4、(2015 吉林三模)如图两摆摆长相同，悬挂于同一高度，A、B两摆球体积均很小，当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触。向右上方拉动B球使其摆线伸直并与竖直方向成60角，然后将其由静止释放。在最低点两摆球粘在一起摆动，且最大摆角成37，忽略空气阻力。求：A球和B球质量之比两球在碰撞过程中损失的机械能与B球在碰前的最大动能之比【答案】A球和B球质量之比为；两球在碰撞过程中损失的机械能与B球在碰前的最大动能之比。【解析】设摆球A、B的质量分别为、，摆长为l，B球的初始高度为h1，
15、碰撞前B球的速度为vB.在不考虑摆线质量的情况下，根据题意及机械能守恒定律得： 得：设碰撞后两摆球的速度为共同摆起到，由机械能守恒定律有：解得：两球在碰撞过程中由动量守恒定律有：解得：两球在碰撞过程中损失的机械能所以：【总结升华】完全非弹性碰撞，碰撞中动量守恒，能量减小。举一反三: 【变式】(2015 烟台模拟)用轻质弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v6m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物块C静止于前方，如图所示，B与C碰撞后二者粘在一起运动，求：当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度多大?弹簧弹性势能的最大值是多少?CAB【答案】当弹簧的弹性势能最大时，
16、物块A的速度为；弹簧弹性势能的最大值是。【解析】当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大由A、B、C三者组成的系统动量守恒得：解得：B、C碰撞时，B、C系统动量守恒，设B、C相碰时的共同速度为，则：设弹簧的最大弹性势能为，根据机械能守恒得：解得：类型四、碰撞中的临界问题 例5.将两条完全相同的磁铁（磁性极强）分别固定在质量相等的小车上，水平面光滑。开始时甲车速度大小为，乙车速度大小为，方向相反并在同一直线上，如图所示。（1）当乙车速度为零时（即乙车开始反向运动时），甲车的速度多大？方向如何？（2）由于磁性极强，故两车不会相碰，那么两车的距离最小时，乙车的速度是多大？方向如何？【思路点拨】
17、要挖掘出两车距离最小时的临界隐含条件。【答案】（1），方向向右. （2）,方向向右.【解析】两个小车及磁铁组成的系统在水平方向不受外力作用，系统水平动量守恒，设向右为正方向。（1）据动量守恒知，代入数据解得，方向向右。（2）两车距离最小时，两车速度相同，设为，由动量守恒知解得：，方向向右。【总结升华】此题中地面光滑，系统不受外力，动量守恒，但问题中涉及两车不相碰又属临界问题。本题是一个临界极值问题，解此问题的关键是要挖掘出两车距离最小时的临界隐含条件：两车速度相等举一反三：【变式】如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行使，速率均为，甲车上有质量的小球若干个，甲和他的车及所带
18、小球总质量，乙和他的车总质量，甲不断地将小球一个一个地以的水平速度（相对于地面）抛向乙，并被乙接住，问：甲至少要抛出多少个小球，才能保证两车不会相碰？ 【答案】.【解析】两车不相碰的临界条件是它们的最后速度（对地）相同，由该系统动量守恒，以甲运动方向为正方向，得： 再以甲及小球为系统，同样得： 由解得：.类型五、爆炸类问题例6. 手榴弹在离地高处时的速度方向恰好沿水平方向，速度大小为，此时，手榴弹砸裂成质量相等的两块，设消耗的火药质量不计，爆炸后前半块的速度方向仍沿水平向左，速度大小为，那么两块弹片落地点之间的水平距离多大？ 【答案】【解析】设爆炸后每块质量为，向左为正方向，则由动量守恒定律得
19、：，则后半块速度，即方向向右，由平抛运动知，弹片落地时间，因此两块弹片落地点间的水平距离. 两块弹片落地点之间的水平距离为.【总结升华】手榴弹在空中爆炸时间极短，且重力远小于爆炸力，重力的冲量可忽略，手榴弹在爆炸的瞬间动量守恒。爆炸过程中内力远大于外力，可认为系统动量守恒，特别是物体在高空爆炸时，若爆炸前速度方向恰好水平，则在该方向上系统不受外力，该水平方向上动量守恒，爆炸前的动量指即将爆炸那一刻的动量，爆炸后的动量指爆炸刚好结束那一刻的动量。举一反三： 【变式】一颗手榴弹以的速度沿水平方向飞行时，炸开成两块，其质量之比为。若较大的一块以的速度沿原方向飞去，则较小一块的速度为：（ ）A.沿原方
20、向，速度大小为 B.沿反方向，速度大小为C.沿原方向，速度大小为 D.沿反方向，速度大小为【答案】B【解析】爆炸过程内力远远大于外力，动量守恒，根据动量守恒定律，设原方向为正方向，较小一块速度为，则有负号表示与原方向相反。类型六、动量关系和动能关系的综合运用例7荷兰科学家惠更斯在研究物体的碰撞问题时做出了突出贡献.惠更斯所做的碰撞试验可简化为：三个质量分别为、的小球，半径相同，并排悬挂在长度均为的三根平行绳子上，彼此相互接触.现把质量为的小球拉开，上升到高出释放，如图所示： 已知各球碰撞时，同时满足动量守恒定律和机械能守恒定律，且碰撞时间极短，远小于，不计空气阻力.若三个小球质量不同，要使球、
21、球与球相碰之后，三个球具有相同的动量，则应为多少？它们上升的高度分别为多少？【思路点拨】分别对碰撞过程运用动量守恒定律和机械能守恒定律进行分析。【答案】；，.【解析】由题意知三球碰撞后的动量均相同，设为,则，球在与球碰前具有动量,根据机械能守恒定律，对于球与球碰撞的情况应有：， 由此得 . 球与球碰前动量为,根据机械能守恒定律有 ， 由此得 . 从而可得 . 设三球碰后上升的高度分别为：、,球碰前动能,又,所以.球碰后动能，又,所以.从而可得.同理可得 ,. 【总结升华】分别对碰撞过程运用动量守恒定律和机械能守恒定律进行分析。本题在研究质量比时从最后的碰撞往前分析；研究升高的高度比时由前向后分
22、析。举一反三：【变式】质量为的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为，如图所示： 一物块从钢板正上方距离为的处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为时，它们恰能回到点。若物块质量为，仍从处自由落下，则物块与钢板回到点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与点的距离。【答案】【解析】物块自由下落，与钢板碰撞，压缩弹簧后再反弹向上，运动到点，弹簧恢复原长。碰撞过程满足动量守恒条件。压缩弹簧及反弹时机械能守恒。自由下落0，根据机械能守恒：物块与钢板碰撞时，根据动量守恒： (为碰后共同速度)物块与钢板一起升到点，根据机械能守恒： 解得.如果物块质量为，则：，设回到点时物块和钢板的速度为，则：从点开始物块和钢板分离， 解得 .
