1、学海在线资源中心 的图象与性质编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】1.了解对函数图象变化的影响，并会由的图象得到的图象；2明确函数（、为常数，）中常数、的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念。【要点梳理】要点一：用五点法作函数的图象用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.要点诠释：用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.要点二：函数中有关概念表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.要点三：由得图象通过变换得到的图象1.振幅变换：(A0且A1)的
2、图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍得到的(横坐标不变)，它的值域-A，A，最大值是A，最小值是-A.若A0)或右(1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变).【典型例题】类型一：三角函数的图象例1（2015 佛山一模）已知函数f（x）=sin（x）（0，xR）的最小正周期为（1）求f（）（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间，上的图象，并根据图象写出其在（，）上的单调递减区间【思路点拨】（1）依题意先解得=2，可得解析式f（x）=sin（2x），从而可求f（）的值（2）先求范围2x，列表，描点，连线即可五点法作图象，并根
3、据图象写出其在（，）上的单调递减区间【解析】（1）依题意得=，解得=2，f（x）=sin（2x），f（）=sin（）=sincoscossin=（2）x，2x，列表如下：2x0xf（x）0101画出函数y=f（x）在区间，上的图象如下：由图象可知函数y=f（x）在（，）上的单调递减区间为（，），（，）【总结升华】“五点法”作图时，五点的确定应先令分别为0、，解出x，从而确定这五点。例2.画出函数y=3sin(2x+)，xR的简图.【解析】(五点法)由，得，列表：x2x+03sin(2x+)030-30描点画图：这种曲线也可由图象变换得到：【总结升华】由y=sinx的图象变换出的图象一般有两个途
4、径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换).先将y=sinx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换.先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍，再沿x轴向左(0)或向右(0)平移个单位，便得的图象.举一反三：【变式1】（2015 湖北高考）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+02xAsin（x+）0550（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析
5、式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度，得到y=g（x）的图象若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求的最小值【解析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，=2，=数据补全如下表：x+02xAsin（x+）05050且函数表达式为f（x）=5sin（2x）（2）由（）知f（x）=5sin（2x），得g（x）=5sin（2x+2）因为y=sinx的对称中心为（k，0），kZ令2x+2=k，解得x=，kZ由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得=，kZ由0可知，当K=1时，取得最小值【变式2】如何由y=sin x的图象变化到的图象？【解析】 解法
6、一：。解法二：。【总结升华】本题用了由函数y=sin x（xR）的图象变换到函数（xR）的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系。类型二：三角函数的解析式例3.如图，它是函数，的图象，由图中条件，写出该函数解析式.【思路点拨】由图可以确定图象的振幅、周期，由此求出，再由题意知，点(，5)在此函数的图象上，由此求出.【解析】 A=5，由点(，5)在此函数的图象上，则法一：(单调性法)点在递减的那段曲线上由得.法二：(最值点法)将最高点坐标(，5)代入得取.法三：(起始点法)函数的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由解得的，故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角.由图象求得，法
7、四：(平移法)由图象知，将的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数为，即.【总结升华】错解：将代入该式得：，由，得或或.代入点坐标时，通常利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标带入解析式，再结合图形的上升、下降趋势变化求出.举一反三：【变式1】函数的图象如下图，确定A、的值，确定其一个函数解析。【思路点拨】 本题主要考查正弦型函数解析式的求法及识图能力，由图知A=3，则，可由点或或确定。【解析】方法一：（逐一定参法）由图象知，振幅A=3，又，。由点，令，得。方法二：（待定系数法）由图象知A=3，又图过点和，根据五点作图法原来（以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有，
8、解得=2，。【总结升华】如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式中的参数A和，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得。【变式2】（1）已知函数的图象如下图所示，求解析式：（2）函数的图象如下图所示，确定A、的值，确定其一个函数解析式。 【解析】 （1）T=(2+1)4=12，。C点为第四点，。，。又点在图象上，。A=2，。（2）由题图知，振幅A=3，又，。由点，令，得。【总结升华】（1）若已知“五点”之外的某点坐标，可将其代入方程中求出，但必须判断出该点坐标是在“五点”当中的哪两点之间。若在第一、二两点之间，则；若在第二、三
9、两点之间，则；若在第三、四两点之间，则或；若第四、五两点之间，则或。（2）如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式中的参数A和，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得。类型三：函数的性质的综合运用例4函数的图象如图所示，试依图推出：（1）的最小正周期；（2）时x的取值集合；（3）使的x的取值集合；（4）的单调递增区间和递减区间；（5）使取最小值时的x的取值集合；（6）图象的对称轴方程；（7）图象的对称中心；（8）要使成为偶函数，应对的图象作怎样的平移变换？【思路点拨】先由图象得到函数的最小正周期，后面的问题可迎刃而解。【解析
10、】 （1）。（2）在一个周期中，使的x是，。故所求的x的取值集合是。（3）使的x的取值集合是。（4）的单调递增区间是；单调递减区间是。（5）取最小值时x的取值集合是。（6）对称轴方程是。（7）对称中心是。（8）要使成为偶函数，可以把其图象向左平移个单位长度。【总结升华】 较强的作图、识图能力是一项重要的数学能力，为数形结合解题提供了可能，在利用的性质解题时，一定要与y=sin x的性质结合，更离不开对定义的理解和掌握。举一反三：【变式1】已知函数，其中，。若的最小正周期为6，且当时，取得最大值，则（ ）A在区间2，0上是增函数B在区间3，上是增函数C在区间3，5上是减函数D在区间4，6上是减函数【答案】A【变式2】已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点是。（1）求函数的解析式；（2）求函数的递增区间。【解析】（1）依题意得：，周期,故，又图象过点，解得：，即。（2）由得：故函数的递增区间为：。
