1、学海在线资源中心 等差数列及其前n项和编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前项和公式，了解等差数列与一次函数的关系；2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题.3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.【学习策略】数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n项和公式的性质特点。注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前项和公式中，共涉及、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，
2、便可求出其余两个量。【要点梳理】要点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。要点诠释：公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；符号语言形式对于数列,若(，,为常数)或(，为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差。要点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关。等差中项如果,成等差数列，那么叫做与的等差中项，即.要点诠释：两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两
3、实数a，b的等差中项存在且唯一.三个数,成等差数列的充要条件是.要点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为，公差为的等差数列的通项公式为：（）推导过程：（1）归纳法：根据等差数列定义可得：，当n=1时，上式也成立归纳得出等差数列的通项公式为：（）。（2）叠加法：根据等差数列定义，有：，把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，.(3)迭代法：.要点诠释：通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了。通项公式中共涉及、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。等差数列通项公式的推广已知等差数列中，第项为，公差为，则：证明：
4、， 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况。要点三、等差数列的性质等差数列中，公差为，则若，且,则，特别地，当时.下标成公差为的等差数列的项,组成的新数列仍为等差数列，公差为.若数列也为等差数列，则，（k,b为非零常数）也是等差数列.仍是等差数列.数列（为非零常数）也是等差数列.要点四、等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式公式一：证明：倒序相加法 +：由此得：公式二： 证明：将代入可得：要点诠释：倒序相加是数列求和的重要方法之一。上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。要点
5、五、等差数列的前项和的有关性质等差数列中，公差为，则连续项的和依然成等差数列，即,，成等差数列，且公差为.若项数为2n，则，若项数为2n-1，则，要点六、等差数列中的函数关系等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)等差数列中，令,则：（,是常数且为公差）（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。当时，一次函数单调增，为递增数列； 当0时，一次函数单调减，为递减数列。 等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由，令，则：（,为常数）（1）当即时，是关于的一个
6、一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点。（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点。当时有最小值当时，有最大值要点诠释： 1.公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数。2.（,是常数）是数列成等差数列的充要条件。3.公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数。4.(其中,为常数)是数列成等差数列的充要条件.【典型例题】类型一：等差数列的定义例1.（1）求等差数列3，7，11，的第11项. （2）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【思路点拨】（1）根据所给数列的前2项求得首项和
7、公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项；（2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.【解析】（1）根据题意可知：,.该数列的通项公式为：（,）.（2）根据题意可得：,. 此数列通项公式为：（,）.令,解得：, 100是这个数列的第15项.【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出通项公式. 2.要注意解题步骤的规范性与准确性.举一反三：【变式1】求等差数列8，5，2的第21项【答案】由，.【变式2】20是不是等差数列0，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【答案】由题意可知：,，此数列的通项公式为：,令,解得，所以
8、20不是这个数列的项.【变式3】求集合的元素的个数，并求这些元素的和【答案】， ， ，中有14个元素符合条件，又满足条件的数7，14，21，98成等差数列，即， .例2.已知数列的通项公式为这个数列是等差数列吗？【思路点拨】由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（）是不是一个与无关的常数。【解析】因为时，所以数列是等差数列，且公差为3.【总结升华】 1. 定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法.2. 一般地，如果一个数列的前项和为，其中、为常数，且，那么当常数项时，这个数列一定是等差数列；当常数项时，这个数列不是等差数列，但从第二项开始的新数列是等差数列.举一反三：【变式1】(20
9、15 北京)设an是等差数列，下列结论中正确的是A若a1+a20，则a2+a30B若a1+a30，则a1+a20C若0a1a2，则D若a10，则(a2a1)(a2a3)0【答案】分析四个答案，A举一反例，如，a1+a20，而a2+a30，A错误；同样B，如，a1+a30，则a1+a20，B错误；对于C，an是等差数列，若0a1a2，则a10，设公差为d，则d0 ，数列各项均为正， ， ；对于D，故选：C【变式2】已知数列中，（），求证：是等差数列。证明：，是公差为的等差数列。类型二：等差数列通项公式的应用例3已知等差数列中，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。【思
10、路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、d的问题，列出a1、d的方程组。【解析】方法一：由通项公式得：，解得， （,）, ,解得.方法二：由等差数列性质，得,即，解得, ， ,解得.方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点， 点、在同一条直线上， ，解得。【总结升华】1. 等差数列的关键是首项与公差；五个基本量、中，已知三个基本量便可求出其余两个量；2.列方程（组）求等差数列的首项和公差，再求出、，是数列中的基本方法.举一反三：【变式1】在等差数列中，已知求首项与公差.【答案】由 解得；【变式2】等差数列中, , , ,求的值.【答案】
11、即，解得：或.【变式3】已知等差数列，则= 。【答案】方法一：设数列首项为,公差为，则， 解得，。方法二：, ，解得：， .方法三：为等差数列，,，也成新的等差数列， 由，知上述新数列首项为，公差为-2 .类型三：活用等差数列的性质解题例4. 已知等差数列中，若,求的通项公式。【思路点拨】可以直接列方程组求解和；同时留意到脚标，可以用性质：当时解题.【解析】，即,代入已知，有,解得或，当,时，；当,时，, .【总结升华】利用等差数列的性质解题，往往比较简捷.举一反三：【变式1】在等差数列中，则= 【答案】9【变式2】在等差数列中，则= 【答案】10【变式3】在等差数列中，若, 则= , = 【
12、答案】， ，.类型四：前n项和公式及性质的运用例5. 已知等差数列an的公差d0，设an的前n项和为Sn，a11，S2S336()求d及Sn；()求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65【思路点拨】（1）利用S2S336求得d,然后利用等差数列的求和公式求Sn；（2）利用前n项和公式求和，然后对k,m进行讨论。【答案】()d2；.()k4，m5【解析】()由a11，S2S336得，(a1a2)(a1a2a3)36，即(2d)(33d)36，化为d23d100，解得d2或5，又公差d0，则d2，所以()由()得，an12(n1)2n1，由amam1am2amk65得，即(k1)
13、(2mk1)65，又m，kN*，则(k1)(2mk1)513，或(k1)(2mk1)165，下面分类求解：当k15时，2mk113，解得k4，m5；当k113时，2mk15，解得k12，m3，故舍去；当k11时，2mk165，解得k0，故舍去；当k165时，2mk11，解得k64，m31，故舍去；综上得，k4，m5【总结升华】本题考查等差数列的前n项和公式，熟练应用公式解题。举一反三：【变式1】（2016 江苏高考）已知an是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是 .【答案】由得，因此【变式2】等差数列中，若, 则=_.【答案】由，得.【变式3】已知两等差数列
14、、的前项和分别为、，且，则= .【答案】.【变式4】等差数列前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.【解析】方法一：利用等差数列的前n项和公式求解。由已知得，解得，。方法二：利用等差数列前n项和公式及性质,则求解。由已知得由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4), 得S3m=210.方法三：根据性质：“已知an成等差数列，则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,Skn-S(k-1)n,(k2)成等差数列”解题。由上述性质，知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列。Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm), S3m=3(S2m-Sm)=210.方法四：由的变形式解题，由
15、上式知，数列也成等差数列，即成等差数列， ，又Sm=30, S2m=100, S3m=210.方法五：an为等差数列， 设Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100, 得，S3m=9m2a+3mb=210.【高清课堂：等差数列及其前n项和379548 练习5】例6一等差数列由3个数组成，3个数之和为9，3个数的平方和为35，求这个数列。【思路点拨】本题设这三个数时，常规设法为, ，但不如用对称设法设为, , 。【解析】设这三个数分别为, , ，则 ，解得,. 所求三个数分别为1，3，5或5，3，1。【总结升华】1. 三个数成等差数列时，可设其分别为, , ；若四个数成等差数列，
16、可设其分别为,.举一反三：【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数。【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8类型五：等差数列前n项和的最值问题例7已知数列是等差数列，,，试问为何值时，数列的前项和最大？为什么？【思路点拨】要研究一个等差数列的前项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用是的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决。【解析】方法一：, 即, ， ， 又， 当, 有最大值为.方法二：要使最大，必须使且，即解得， ，时，最大为.【总结升华】对等差数列前项和的最值问题有两种方法:1. 利用:当，时，前项和有最大值。可由，且，求得的值；当，时，前项和有最小值。可由，且，求得的值.2. 利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值举一反三：【变式】设等差数列的前项和为, 已知,. （1）求公差的取值范围；（2）指出，中哪一个值最大，并说明理由.【答案】（1）依题意，有，即，解得.（2）法一:由，可知.设存在自然数,使得就是，中的最大值，只需,由，故是，中的最大值.法二:, 最小时，最大，, ，时，最小，故是，中的最大值.
