1、4.1 比例线段第3课时 黄金分割,学习目标,了解比例中项和黄金分割的概念，会求已知线段的比例中项，能利用黄金分割进行简单的计算.通过动手找到黄金分割点与制作图形，认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史的作用.,情境引入,美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.,许多美的图案都与0.618这个比值有关.你知道0.618这个比值的来历吗？,新知精讲,已知a=2，b=2，c=，算一算，b2=ac成立吗？a，b，b，c这四个数是否成比例？,b2=（2）2=12，ac=2=12，b2=ac成立，=，a，b，b，c这四个数成比例.,一般地，如果三个数a，b，c满足比例式=（或ab=bc）
2、，那么b就叫做a，c的比例中项.b2=ac=.,再写出三个数，使它们满足=的条件.（请与你的同伴交流）,1.1是不是 和 的比例中项？如果是比例中项，请写出相应的比例式.,2.已知线段a=3，b=27，求a，b的比例中项线段.,1=1.,设a，b的比例中项线段为x，则=，即x2=ab，所以x2=327=81.所以x1=9，x2=-9（舍去）.所以线段a，b的比例中项线段长为9.,是.,当a，b，c表示实数时，由b2=ac，得b=；当a，b，c表示线段长度时，由b2=ac，得b=.,如图是意大利著名画家达芬奇（da Vinci，14521519年）的名画蒙娜丽莎.画面中脸部被围在矩形ABCD内，
3、图中四边形BCEF为正方形.量一量点F到点A，B的距离.与 相等吗？,如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使APPB，且=，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比.,例如，左图中，=，它们都是黄金比，又因为BC=BF，所以矩形ABCD的宽与长之比也是黄金比.,应用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值.如图，设=x，则PB=AB-AP=AB-ABx.由=，得=，即=.化简，得x2+x-1=0.解得=,=（不合题意，舍去）.所以=.,历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和图案设计等方面
4、.,古代希腊的帕特农神庙,有趣的是，在自然界中也有很多黄金分割的例子，例如，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度之比接近黄金比的近似值0.618.,右图中所示的框住古希腊神庙图形的长方形，它的宽与长之比就等于黄金比.,典例精讲,例1 如图，已知线段AB=+，点P是它的黄金分割点，APPB.求AP，BP的长.,解：因为点P是线段AB的黄金分割点，且APPB，=，=+=，=+=.,分析：确定给人视觉最美的点，就是确定黄金分割点.,例2 如图是一个杯子的示意图，厂方为了美化杯子，决定在表面上刻一点装饰花，当装饰花刻在什么位置时，给人的视觉才是最美的？请你确定刻花的位置.,解：如图.（1）过点B作BCAB，使
5、BC=AB.（2）连结AC，在AC上截取CD=CB.,C,D,例2 如图是一个杯子的示意图，厂方为了美化杯子，决定在表面上刻一点装饰花，当装饰花刻在什么位置时，给人的视觉才是最美的？请你确定刻花的位置.,（3）在AB上截取AE=AD，则点E即为刻花的位置；也可以在AB上截取BF=AD，则点F也可以为刻花的位置.,C,D,E,F,课堂小结,比例中项及计算黄金分割及相关概念黄金比的数值历史上和自然界中的“黄金分割”黄金分割点的应用及确定,黄金分割,当堂检测,1.求下列各组线段a，b的比例中项线段：（1）=，=.（2）=，=+.,解：（1）设a，b的比例中项线段为x，则=，所以=.所以x1=3，x2=-3（舍去）.所以线段a，b的比例中项线段长为3.,（2）设a，b的比例中项线段为x，则=，所以=+=.所以=，=（舍去）.所以线段a，b的比例中项线段长为.,1.求下列各组线段a，b的比例中项线段：（1）=，=.（2）=，=+.,2.已知点P是线段AB的黄金分割点，APPB，求：（1）（精确到0.1）.（2）若AB=2，求PB.,解：（1）因为=，=，所以=+.（2）=.,感谢观看！,
