1、本 章 整 合,专题1,专题2,专题3,专题一合情推理和演绎推理在解题中的应用1.合情推理的应用归纳和类比是常用的合情推理,都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的推理.从推理形式上看,归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性的结论的推理方法,它在科学研究或数学学习中有着重要的作用:发现新知识、探索新规律、检验新结论或预测答案、探索解题思路等;类比推理是由特殊到特殊的推理,它以比较为基础,有助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等.合情推理的结论不一定正确,有待于演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路
2、.,专题1,专题2,专题3,应用1 给出一个“三角形”的数表如下,此表构成的规则是:第一行是0,1,2,999,以后下一行的数是上一行相邻两个数的和.试求第四行中能被999整除的数.,提示:认真观察、分析数表的结构特征,分析归纳出第四行的各数与第一行中数的关系,进而可解.,专题1,专题2,专题3,解:首先找出第四行数的构成规律,如图所示.,通过观察、分析,可以看出:第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的数有关.如果用an表示第四行的第n个数,那么an=8n+4.现在要找出an=8n+4=999k的an,显然k应是4的倍数.注意到第四行中最大的数是7 9809998,所以k=4.由此求出第
3、四行中能被999整除的数是9994=3 996,它是第四行中的第(3 996-4)8=499(项),即a499=3 996就是第四行中能被999整除的数.,专题1,专题2,专题3,应用2 若把三角形的正弦定理和余弦定理类比到三棱柱中,你能得出什么结论?并给出证明.提示:类比时,首先要明确三角形(平面图形)和三棱柱(立体图形)可类比元素的对应(如:三角形的三条边长和三棱柱的三个侧面的面积对应,三角形的内角与三棱柱侧面形成的二面角的对应等)关系,然后再进行猜想.,专题1,专题2,专题3,专题1,专题2,专题3,专题1,专题2,专题3,2.演绎推理的应用演绎推理是由一般到特殊的推理方法,又叫逻辑推理
4、,在前提和推理形式均正确的前提下,得到的结论一定正确,演绎推理的内容一般是通过合情推理获取的.,专题1,专题2,专题3,提示:充分利用函数与其导数之间的关系以及二次方程根的分布情况,将条件转化为a,b,c的关系来解决问题.,专题1,专题2,专题3,专题1,专题2,专题3,(2)若f(x)在区间(s,t)内为增函数,则f(x)=ax2+bx+c在区间(s,t)内恒非负.a0,=b2-4ac0,故方程f(x)=0必有两个不相等的实数根,设为x1,x2,且x1x2.,而f(1)=0,故x2=1.又f(-2)=4a-2b+c=4a-2b-a-b=3(a-b)-2.若f(x)在区间(s,t)内恒非负,则
5、有x1stx2,即-2st1.,专题1,专题2,专题3,专题二直接证明与间接证明1.综合法和分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但两种证明方法的思路截然相反,分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程,分析法和综合法可相互转换,相互渗透,在解题中综合法和分析法联合运用,可转换解题思路,增加解题途径.,专题1,专题2,专题3,提示:这是一道三角不等式证明题,可考虑分别使用作差比较法、作商比较法、分析法、综合法等方法进行证明.,专题1,专题2,专题3,专题1,专题2,专题3,专题1,专题2,专题3,专题1,专题2,专题3,2.反证法反证法是一种间接证明命题的方法,反证法
6、体现了“正难则反”的证明思想,它从命题结论的反面出发引出矛盾,从而肯定命题的结论.,专题1,专题2,专题3,应用2 求证:以抛物线y2=2px(p0)上的任意不同的四点为顶点的四边形不可能是平行四边形.提示:若从正面进行证明,需证对边不平行或不相等,既不易确定目标,又不易比较斜率大小或边的长度.若把结论的反面作为条件,则很容易找出等量关系(斜率相等).证明:如图,在抛物线y2=2px(p0)上任取不同的四点分别为A,B,C,D.,专题1,专题2,专题3,专题1,专题2,专题3,专题1,专题2,专题3,专题三数学归纳法数学归纳法的第一步是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须真实
7、可靠;它的第二步是命题具有后继传递性的保证,两步合在一起为完全归纳步骤,这两步缺一不可,第二步中证明“当n=k+1时结论正确”的过程中,必须使用“归纳假设”,否则证明就不是数学归纳法.,专题1,专题2,专题3,应用 在数列an与bn中,a1=1,b1=4,数列an的前n项和为Sn,满足nSn+1-(n+3)Sn=0,2an+1为bn与bn+1的等比中项,nN*.(1)求a2,a3,a4与b2,b3,b4的值;(2)试猜想数列an与bn的通项公式,并用数学归纳法加以证明.提示:解答本题的关键是,首先根据题设准确求出这两个数列的前几项,认真观察所写数列的前几项与其序号间的关系,分析、归纳出构成数列
8、的规律,写出这两个数列的通项公式.数学归纳法证明的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak+1或Sk与Sk-1间的关系.解:(1)由题设nSn+1-(n+3)Sn=0,当n=1时,有a1+a2-4a1=0.又a1=1,解得a2=3.由题设2an+1为bn与bn+1的等比中项,得4 2 2=2b1.由b1=4,解得b2=9.进一步可得a3=6,b3=16,a4=10,b4=25.所以a2=3,a3=6,a4=10;b2=9,b3=16,b4=25.,专题1,专题2,专题3,专题1,专题2,专题3,1,2,3,4,1.(2015福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*),其中x
9、k(k=1,2,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).,现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.,1,2,3,4,答案:5,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,3.(2015江苏高考)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN*),设Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,4.(2015安徽高考)设nN*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列xn的通项公式;,1,2,3,4,
