1、第2课时数列的通项公式与递推公式,【知识提炼】数列的递推公式如果已知数列an的第1项(或前几项)，且任何一项an与_间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.,它的前一项(或前几项),【即时小测】1.思考下列问题(1)所有数列都有递推公式吗？提示：不一定.例如 精确到1，0.1，0.01，0.001，的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，没有递推公式.,(2)仅由数列an的关系式an=an-1+2(n2，nN*)就能确定这个数列吗？提示：不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的
2、.,2.已知数列an满足a10，且an+1=an，则数列an是()A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列【解析】选B.由a10，且an+1=an，则an0，又 1，所以an+1an.因此数列an为递减数列.,3.数列 的递推公式可以是()A.an=(nN*)B.an=(nN*)C.an+1=an(nN*)D.an+1=2an(nN*)【解析】选C.数列从第二项起，后一项是前一项的，故递推公式为an+1=an(nN*).,4.在数列an中，已知a1=1，an=(n2)，则a5=_.【解析】由a1=1，an=得a2=2，a3=，a4=，a5=.答案：,5.若数列an中，a1=2，且an
3、+1=(n是正整数)，则数列的通项公式an=_.【解析】a1=2，a2=22，a3=24，a4=28，猜想an=答案：,【知识探究】知识点 递推公式观察图形，根据下面的说明，回答问题：某剧场有9排座位，第一排有7个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图).,问题1：写出前五排座位数，并考虑第n排与第n+1排座位数有何关系，第n排座位数an与第n+1排座位数an+1能用等式表示吗？问题2：由递推公式给出一个数列需具备几个条件？,【总结提升】1.由递推公式给出一个数列的两个条件用递推公式给出一个数列，必须给出：“基础”数列an的第1项或前几项；递推关系数列an的任一项an与它的前一项a
4、n-1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.,2.通项公式与递推公式的异同点,【题型探究】类型一 由递推公式写数列的项【典例】1.(2015广州高二检测)在数列an中，已知a1=，an=(-1)n2an-1(n2)，则a4等于()A.-2B.2C.-4D.4,2.已知数列an满足a1=1，以后的各项由公式an+1=给出，试写出这个数列的前5项.,【解题探究】1.典例1中，已知a1，怎样求a2？进而怎样求a3，a4？提示：在递推公式中令n=2，3，4，结合a1的值即可以求出数列的前几项.2.典例2中求数列前5项的关键是什么？提示：关键是利用a1及递推关系求解.,【解析】1.选
5、C.对n依次取2，3，4得a2=(-1)22=1，a3=(-1)321=-2，a4=(-1)42(-2)=-4.,2.因为a1=1，an+1=，所以a2=a5=故该数列的前5项为,【延伸探究】若典例2中“an+1=”变为“an+1=”，其他条件不变，结论如何？,【解析】因为a1=1，an+1=，所以a2=1，a3=1，a4=1，a5=1.故该数列的前5项为1，1，1，1，1.,【方法技巧】由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.(3)若知道的是首项，
6、通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.,【变式训练】(2015西安高二检测)数列an满足an+1=，若a1=，则a2 014=(),【解析】选A.因为a1=，所以a2=2a1-1=，所以a3=2a2=，a4=2a3=，所以a5=2a4-1=，a6=2a5-1=，a7=2a6=，a8=2a7=，所以an+4=an，nN*，所以a2014=a4503+2=a2=.,【补偿训练】数列an中a1=1，a2=3，-an-1an+1=(-1)n-1(n2)，那么a4=_.【解析】令n=2，得-a1a3=-1，所以a3=10.令n=3，得-a2a4=(-1)2，所以a4=33.答案：33,类型二
7、 由数列的递推公式求通项公式【典例】1.已知数列an满足a1=1，an=an-1+(n2)，则an=_.2.已知数列an中，a1=1，且an+1=3an(nN*).(1)写出这个数列的前5项.(2)猜想数列an的通项公式并加以证明.,【解题探究】1.典例1中，可对递推公式作何种变形？提示：将递推公式作移项，将其变形为an-an-1=再分别令n=2，3，4，n-1，n后将这n-1个等式相加.,2.典例2中，递推公式反映了数列有何特征？提示：将an+1=3an变形为=3，数列中后一项与前一项的比是常数3.,【解析】1.由an=an-1+(n2)，可得，an-an-1=(n2)，所以a2-a1=1-
8、，a3-a2=-，a4-a3=-，an-an-1=将各式累加得an-a1=1-，又因为a1=1，所以an=2-.又a1=2-=1，符合上式，所以an=2-.答案：2-,2.(1)因为a1=1，且an+1=3an所以a2=31=31，a3=33=32，a4=39=33，a5=327=34.,(2)由(1)猜想数列an的通项公式an=3n-1(nN*).证明：因为an=3an-1(n2)，所以=3，所以=3n-1，又a1=1，符合上式，所以an=3n-1(nN*).,【延伸探究】1.(变换条件)若典例2中“a1=1，且an+1=3an”变为“a1=2，且an+1=an”，则通项公式如何？,【解析】
9、因为an=an-1(n2)，所以所以所以an=2又a1=2，符合上式，所以an=2(nN*).,2.(变换条件)若典例2中“an+1=3an”变为“an+1=an”，通项公式如何？【解析】方法一：累乘法因为所以 所以又因为a1=1，所以an=,方法二：迭代法因为an+1=an，所以an=an-1=an-2=an-3=a1=a1.又因为a1=1，所以an=.,方法三：构造特殊数列法因为，所以(n+1)an+1=nan，所以数列nan是常数列，所以nan=1a1=1，所以an=.,【方法技巧】1.由递推公式写出通项公式的步骤(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几
10、项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式.(3)写出一个通项公式并证明.,2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如an+1=an+f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为an+1-an=f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+f(n-1).,(2)求形如an+1=f(n)an的通项公式.将原递推公式转化为=f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由=f(1)，=f(2)，=f(n-1)，累乘可得=f(1)f(2)f(n-1).,【补偿训练】在数列an中，a1=2，且an+1=an
11、+log2(1+)，则an=_.,【解析】由an+1=an+log2(1+)知，an+1-an=log2(1+)，则a2-a1=log2()，a3-a2=log2()，a4-a3=log2()，an-an-1=log2().,累加得，an-a1=log2()+log2()+log2()+log2()=log2()=log2n，所以an=2+log2n.答案：2+log2n,易错案例 由递推公式求数列中的项【典例】(2015烟台高二检测)在数列an中，若a1=2，且对所有nN*满足an=an+1+2，则a2016=_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：求通项公式时
12、，采用累加法漏掉了a1，错解为an=-2n+2.,【自我矫正】由题意知an+1-an=-2，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1=-2(n-1)+2=-2n+4，所以a2 016=-22 016+4=-4 028.答案：-4 028,【防范措施】解决与递推公式相关问题的两个关注点(1)明确递推公式类型：因为数列是一个特殊的函数，有时可以借助于函数知识，记住类型找方法，如本例中an+1-an=-2即为an+1-an=f(n)的类型，求通项公式时要写成an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1的形式.,(2)明确项数：在采用“累加法”或“累乘法”时，要注意有多少项.如本题中，采用累加法共有(n-1)个-2，而不是n个.,
