1、第二课数列,【网络体系】,【核心速填】1.数列的通项与前n项和的关系(1)Sn=a1+a2+an.(2)an=,2.等差数列(1)通项公式：an=a1+_，an=am+_.(2)前n项和公式：Sn=_=_.,(n-1)d,(n-m)d,(3)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫作a，b的等差中项，且有_.(4)常用性质：若m+n=p+q(m，n，p，qN*)，则_；在等差数列an中，Sk，S2k-Sk，_，成等差数列.,a+b=2A,am+an=ap+aq,S3k-S2k,(5)等差数列的判断定义式：_=d(d为常数)；等差中项：an+an+2=_；通项公式：an=dn+b；前n项和：Sn
2、=an2+bn.,an+1-an,2an+1,3.等比数列(1)通项公式：an=_，an=_.(2)前n项和公式：Sn=,a1qn-1,amqn-m,(3)等比中项：若a，G，b成等比数列，则G叫作a，b的等比中项，且有G2=_或G=_.(4)等比数列的性质：若m+n=p+q(m，n，p，qN*)，则_；在等比数列an中，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，成等比数列.(q-1),ab,aman=apaq,(5)等比数列的判断：定义式：_(q为非零常数)；等比中项：anan+2=_；通项公式：an=aqn(a，q为非零常数)；前n项和：Sn=A-Aqn(A为非零常数，q0且q1).,【易错提醒
3、】1.关注an与Sn的关系式的应用应用an=解题时，应注意分类讨论的应用，即要注意分n=1和n2两种情况进行讨论.,2.重视等差(比)数列的定义等差(比)数列的定义中都强调从第2项开始，每一项与前一项的差(比)，是同一常数.利用定义法证明等差(比)数列时，要特别注意n的取值范围.3.忽视等比数列项的符号等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同，解题时常因忽略这点而致误.,4.求等比数列的前n项和时注意分类讨论在等比数列的公比不确定的情况下，求其前n项和时应对公比分q=1和q1两种情况进行讨论.,5.找规律，“数清”数列的项数在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时
4、，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数.如果把数列的项数弄错了，将会前功尽弃.,类型一 数列通项公式的求法【典例1】(1)若数列an的前n项和Sn=2n-1，则此数列的通项公式为an=_.(2)写出下面各递推公式表示的数列an的通项公式.a1=1，an+1=2nan(n1)；a1=2，an+1=an+3n+2.,【解析】(1)当n2时，an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.当n=1时，a1=S1=21-1=1，适合上式.综上有an=2n-1.答案：2n-1,(2)方法一：因为an+1=2nan，所以所以将上述n-1个式子累乘，得
5、=21+2+3+(n-1)，即an=(nN*).,方法二：an+1=2nan=2n2n-1an-1=2n2n-12221a1=21+2+n-1+na1=所以an=,因为an+1=an+3n+2，所以an-an-1=3n-1(n2).所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(n2).当n=1时，(31+1)=2=a1，a1符合公式，所以an=,【延伸探究】典例1(1)中的条件“Sn=2n-1”改为“Sn=3n2-2n+1”，结果如何？【解析】当n=1时，a1=S1=312-21+1=2；当n2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-3(n-1)2-2(n-
6、1)+1=6n-5，显然当n=1时，不满足上式.故数列的通项公式为an=,【方法技巧】数列通项公式的求法(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式an=求解.,(3)累加或累乘法形如an-an-1=f(n)(n2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如=f(n)(n2)的递推式，可用累乘法求通项公式.,【拓展延伸】用待定系数法由递推公式求通项公式(1)基本思路把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通
7、项公式.,(2)具体方法在递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列.例如an=can-1+d(c0，c1)的递推关系式，在递推关系式两端同时加上A，an+A=can-1+d+A，即an+A=令A=，解出A，此时数列an+A是等比数列，可解.,【变式训练】若a1=1，Sn=an，则通项an=_.【解析】由题设知，a1=1.当n2时，an=Sn-Sn-1=所以所以,以上n-1个式子的等号两端分别相乘，得到又因为a1=1，所以an=a1=1也符合此式，所以an=答案：,类型二 等差数列、等比数列的判定【典例2】(1)已知数列an，则
8、有()A.若an2=4n，nN*，则an为等比数列B.若anan+2=，nN*，则an为等比数列C.若aman=2m+n，m，nN*，则an为等比数列D.若anan+3=an+1an+2，nN*，则an为等比数列,(2)在数列an中，a1=-3，an=2an-1+2n+3(n2，且nN*).求a2，a3的值.设bn=(nN*)，证明：bn是等差数列.,【解析】(1)选C.若a1=-2，a2=4，a3=8，满足an2=4n，nN*，但an不是等比数列，故A错；若an=0，满足anan+2=，nN*，但an不是等比数列，故B错；若an=0，满足anan+3=an+1an+2，nN*，但an不是等比
9、数列，故D错；若aman=2m+n，m，nN*，则有=2，则an是等比数列.,(2)因为a1=-3，an=2an-1+2n+3(n2，且nN*)，所以a2=2a1+22+3=1，a3=2a2+23+3=13.对于任意nN*，因为=(2n+1+3)-3=1，所以数列bn是首项为=0，公差为1的等差数列.,【方法技巧】等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：an+1-an=d(常数)an是等差数列；=q(q为常数，q0)an是等比数列.(2)中项公式法：2an+1=an+an+2an是等差数列；=anan+2(an0)an是等比数列.,(3)通项公式法：an=kn+b(k，b是常数)an是等差数
10、列；an=cqn(c，q为非零常数)an是等比数列.(4)前n项和公式法：Sn=An2+Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列；Sn=Aqn-A(A，q为常数，且A0，q0，q1，nN*)an是等比数列.,【变式训练】已知数列an是各项均为正数的等差数列，且lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn=，n=1，2，3，求证数列bn为等比数列.,【证明】因为lga1，lga2，lga4成等差数列，所以2lga2=lga1+lga4=lg(a1a4)，所以a22=a1a4.设等差数列an的公差为d，则(a1+d)2=a1(a1+3d)，所以d2=a1d，所以d(a1-d)=0，所以d=0或
11、d=a1.,当d=0时，an为常数列，bn也为常数列，此时数列bn是首项为正数，公比为1的等比数列.当d=a1时，=a1+(2n-1)d=2nd，因为a10，所以d0，所以bn=显然bn0.所以(n1)，,此时数列bn是首项为b1=，公比为 的等比数列.综上可知，数列bn是等比数列.,【补偿训练】已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1，bn=an+1(nN*).(1)求证：bn是等比数列.(2)求an的通项公式.,【解析】(1)因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)，即bn+1=2bn.因为b1=a1+1=20，所以bn0.所以=2，所以bn是等比数列.(2)由(1
12、)知bn是首项b1=2，公比为2的等比数列，所以bn=22n-1=2n，即an+1=2n，所以an=2n-1.,类型三 数列求和【典例3】(1)数列an中，an=Sn=9，则n=_.(2)(2014新课标全国卷)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.求an的通项公式.求数列 的前n项和.,【解析】(1)an=所以Sn=-1=9，所以n=99.答案：99,(2)方程x2-5x+6=0的两根为2，3，由题意得a2=2，a4=3，设数列an的公差为d，则a4-a2=2d，故d=，从而a1=，所以an的通项公式为an=n+1.,设数列 的前n项和为Sn，由知则Sn=两式相减
13、得：所以Sn=2-,【方法技巧】数列求和的常用方法(1)公式法.(2)分组求和法.(3)倒序求和法.(4)错位相减法.,(5)裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(6)并项求和法.一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.,【变式训练】已知函数f(x)=2x-3x-1，点(n，an)在f(x)的图象上，数列an的前n项和为Sn，求Sn.【解析】由题得an=2n-3n-1，Sn=a1+a2+an=(2+22+2n)-3(1+2+3+n)-n,【补偿训练】设an是等差数列，bn是各
14、项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13.(1)求an，bn的通项公式.(2)求数列 的前n项和Sn.,【解析】(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且 解得所以an=1+2=2n-1，bn=12n-1=2n-1.,(2)-，得Sn=,类型四 函数思想在数列中的应用【典例4】(1)(2015益阳高二检测)已知an=（nN*），则在数列的前50项中最小项和最大项分别是()A.a1，a50 B.a1，a8C.a8，a9 D.a9，a50,(2)已知数列an满足a1=0，an+1=(nN*)，则a2015=_.,【解析】(1)选C.an=1+，因为
15、0，所以y=1+在(-，)上是减函数，在(+)上为减函数，又8a1a2a8，1a50a49a9，所以在数列的前50项中最小项和最大项分别是a8，a9.,(2)由已知条件可推得a2=-，a3=，a4=0，a5=-，故可知数列an的周期为3，所以a2015=a2=-.答案：-,【方法技巧】1.函数思想在数列中的应用(1)数列本身就是一种函数，这种函数的定义域是N*(或其子集)，从而表现在图象上就是孤立的点.(2)数列具有单调性，如等差数列(除去公差为0的情况)，等比数列(如a10，q1).(3)数列具有周期性，如数列,2.研究数列问题的策略可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例如
16、数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，或解不等式问题.,【变式训练】数列-2n2+29n+3中最大项是()A.107 B.108 C.108 D.109,【解析】选B.设an=-2n2+29n+3，则an=-2n2+29n+3=因为 且nN*，所以当n=7时，an最大，最大值为a7=108.,【补偿训练】已知数列2008，2009，1，-2008，-2009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2016项之和S2016等于_.,【解析】由题意得，an+1+an-1=an(n2)，an+an+2=an+
17、1，两式相加得an+2=-an-1，所以an+3=-an，所以an+6=an，即an是以6为周期的数列.因为2016=3366，a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，所以S2016=a1+a2+a2016=3360=0.答案：0,类型五 方程思想在数列中的应用【典例5】(1)记等差数列an的前n项和为Sn，设S3=12，且a22=2a1(a3+1)，则Sn=_.(2)(2015海口高二检测)已知等比数列中，a1+a3=10，a4+a6=，求其第4项及前5项和.,【解析】(1)设数列an的公差为d，依题意有 即解得 或因此Sn=n(3n-1)=或Sn=2n(5-n)=10n-2n2.答案：或1
18、0n-2n2,(2)设公比为q，由已知得即得q3=，即q=，将q=代入得a1=8，所以a4=a1q3=8()3=1，,所以S5=,【方法技巧】方程思想在数列中的应用在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的几个，求另外几个时，往往是设出基本量，建立方程或方程组来解决问题.但需注意数列看作函数时的定义域与一般函数定义域的区别.,【变式训练】等比数列中，那么公比q=_.,【解析】因为等比数列an中，a3=，前3项之和S3=所以a1+a2=3，所以整理可得2q2-q-1=0，即(2q+1)(q-1)=0，解得q=1或q=-.答案：1或-,【误区警示】解答本题容易出现直接套用公式Sn=，导致漏掉q=1
19、的情况.,【补偿训练】已知等比数列an的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则an的前8项和为()A.127 B.255 C.511 D.1 023,【解析】选B.因为2a4，a6，48成等差数列，所以2a6=2a4+48，所以2a1q5=2a1q3+48，又因为q=2，所以a1=1，所以S8=255.,类型六 分类讨论思想在数列中的应用【典例6】设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n=1，2，).(1)求q的取值范围.(2)设bn=an+2-an+1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小.,【解析】(1)因为an是等比数列，Sn0，可得a1=S10，q0.当q=1时，
20、Sn=na10；当q1时，Sn=0，所以 0.所以 或,所以-11.综上所述，q-1且q0.,(2)由bn=an+2-an+1得bn=所以Tn=Sn，所以Tn-Sn=所以当-12时，TnSn；当-q2且q0时，TnSn；当q=-或q=2时，Tn=Sn.,【方法技巧】分类讨论思想在数列中的应用(1)涉及等比数列前n项和问题时，需要对公比q进行讨论，在对公比q进行讨论时，除去q=1，q1两种情况外，有时还需对01进行讨论，这需认真审题弄清题意，切实做到分类讨论时不漏不重，合情合理.,(2)已知Sn求an时，需对n=1与n2两种情况进行讨论.最后需进行验证，能否将通项公式写为一个通式.若能，则写为一
21、个通式；若不能，则需写成分段函数的形式.(3)在研究与项数有关的问题时，有时需对n是奇数还是偶数进行讨论.,【变式训练】(2014山东高考)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)令bn=(-1)n-1，求数列bn的前n项和Tn.,【解析】(1)d=2，S1=a1，S2=2a1+d，S4=4a1+6d，因为S1，S2，S4成等比数列，所以S22=S1S4，解得a1=1，所以an=2n-1.,(2)当n为偶数时，Tn=所以Tn=当n为奇数时，Tn=,所以Tn=所以Tn=,【补偿训练】在数列an中，a1=1，anan+1=3n，求数列an的前n项和Sn.【解析】因为a1=1，anan+1=3n，所以a2=3，an+1an+2=3n+1，所以=3，所以a1，a3，a5，a2m-1，是以1为首项，3为公比的等比数列.,a2，a4，a6，a2m，是以3为首项，3为公比的等比数列.所以当n为奇数2m-1时，Sn=(a1+a3+a5+a2m-1)+(a2+a4+a6+a2m-2)=,当n为偶数2m时，Sn=(a1+a2+a3+a2m-1)+a2m=3m-2+3m=23m-2=2-2.所以Sn=,
