1、第二课参数方程,【网络体系】,【核心速填】1.参数方程的定义在给定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的_,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数.,参数方程,2.常见曲线的参数方程(1)直线.直线的标准参数方程即过定点M0(x0,y0),倾斜角为()的直线l的参数方程的标准形式为_(t为参数),(2)圆.圆x2+y2=r2的参数方程为_(为参数)圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程
2、为_(为参数),(3)椭圆.中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆b2x2+a2y2=a2b2的参数方程为_(为参数),(4)双曲线.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线b2x2-a2y2=a2b2的参数方程为_(为参数),(5)抛物线.抛物线y2=2px(p0)的参数方程为_(为参数)或_(t为参数),【易错警示】(1)直线的标准参数方程为(t为参数)参数t的几何意义:即t为有向线段 的数量,并注意t的正负值.,参数t的几何意义中有如下常用结论:(i)若M1,M2为直线上任意两点:M1,M2对应t的值分别为t1,t2,则|M1M2|=|t1-t2|.(ii)若M0为M1M2的中点,则有t1+t2=0
3、.(iii)弦M1M2的中点为M,则M0M=tM=,(2)直线的参数方程的一般式(t为参数)只有当a2+b2=1且b0时,具有上述几何意义(若b0时,参数方程 同样具有上述几何意义.,(3)应用上述公式解题时,一定要区分直线的参数方程是否为标准形式,以免出现错误.,类型一参数方程化为普通方程【典例1】把下列参数方程化成普通方程:(1)(为参数)(2)(t为参数,a,b0),【解析】(1)由所以5x2+4xy+17y2-81=0.,(2)由题意,得所以2-2得 所以=1,其中x0.,【方法技巧】参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致,由参
4、数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围,注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定.,(2)消除参数的常用方法有:代入消参法;三角消参法;根据参数方程的特征,采用特殊的消参手段.,【变式训练】1.抛物线(t为参数)的准线方程是()A.x=1B.x=-1C.y=1D.y=-1【解析】选D.化参数方程为直角坐标方程,得x2=4y,其准线方程为y=-1.,2.判断方程(是参数且(0,)表示的曲线的形状.,【解析】两式平方相减得x2-y2=4,因为(0,),所以x=sin+2,y=sin-=0,所以方程表示的曲线是等轴双曲线=1的右支在x轴及其下方的部分.,类型二直线与圆的参数方程的应用【典
5、例2】(2016沈阳高二检测)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为,(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程.(2)动点A在曲线C上,动点B在直线l上,定点P(-1,1),求|PB|+|AB|的最小值.,【解题指南】(1)利用sin2+cos2=1消去参数,可得曲线C的普通方程,根据 即可得直线l在该直角坐标系下的普通方程.(2)作点P关于直线的对称点Q,利用|PB|+|AB|=|QB|+|AB|QC|-1,仅当Q,B,A,C四点共线时,且A在B,C之间时等号成立,可求得最小值.,【解析】(1)由曲线
6、C的参数方程 可得(x-2)2+y2=1,由直线l的极坐标方程为 可得(sin+cos)=4,即x+y=4.,(2)方法一:设P关于直线l的对称点为Q(a,b),故 所以Q(3,5),由(1)知曲线C为圆,圆心C(2,0),半径r=1,|PB|+|AB|=|QB|+|AB|QC|-1.,仅当Q,B,A,C四点共线时,且A在B,C之间时等号成立,故(|PB|+|AB|)min=-1.,方法二:如图,圆心C关于直线l的对称点为D(4,2),连接PD,交直线l于点B,|PB|+|AB|=|PB|+|BC|-1=|PB|+|BD|-1|PD|-1=-1.,【延伸探究】若本例的条件不变,圆心为C,如何在
7、直线l上求一点B,使|PB|+|BC|取得最小值?求出最小值.,【解析】如典例中的解析图可知,圆心C关于直线的对称点为D(4,2),连接PD,交直线l于点B,|PB|+|BC|=|PB|+|BD|PD|=求得B的坐标为,【方法技巧】几何性质在求最大值或最小值中的应用(1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值求法,常常利用对称性以及两点之间线段最短解决.(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题,常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等.,【变式训练】1.(2016成都高二检测)已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的正半轴重合.曲线C的参数方程为(为参数),直线l的极
8、坐标方程是(cos+2sin)=15.若点P,Q分别是曲线C和直线l上的动点,则P,Q两点之间距离的最小值是(),【解析】选C.曲线C的参数方程为(为参数)的普通方程为=1,直线l:(cos+2sin)=15的直角坐标方程是x+2y-15=0.因为点P,Q分别是曲线C和直线l上的动点,设P(3cos,2sin),P到直线的距离为d=,2.(2016黄石高二检测)已知曲线C的极坐标方程是=2sin,直线l的参数方程是(t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求|MN|的最大值.,【解题指南】(1)利用公式 将极坐标方程化为直角坐
9、标方程.(2)将直线的参数方程化为普通方程,利用几何性质计算最大值.,【解析】(1)曲线C的极坐标方程可化为2=2sin,又x2+y2=2,x=cos,y=sin,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.,(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得y=-(x-2),令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0).又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为(0,1),半径r=1,则|MC|=.所以|MN|MC|+r=+1.所以|MN|的最大值为+1.,类型三直线与圆锥曲线的综合题【典例3】求椭圆=1上的点到直线l:x+2y-10=0的最小距离及相应的点P的坐标.,【解析】设椭圆=1上的点P(2cos
10、,sin),P到直线l:x+2y-10=0的距离为d=当且仅当sin(+)=1,即=时取等号,最小距离为 此时点P(2cos,sin)，即P 为所求.,【方法技巧】椭圆的参数方程以及应用长半轴为a,短半轴为b,中心在原点的椭圆=1(ab0)的参数方程为(为参数)椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用,通常将上述问题转化为三角函数的性质加以解决.,【变式训练】1.(2016全国卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.,(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两
11、点,|AB|=,求l的斜率.,【解析】(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,由 可知圆C的极坐标方程为2+12cos+11=0.,(2)由题意可得直线过原点且斜率存在,记直线的斜率为k,则直线的方程为kx-y=0,由垂径定理及点到直线距离公式知:即 整理得k2=,则k=.,2.(2016临汾高二检测)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为3cos+2sin=12.,(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,M为曲线C与y轴负半轴的交点,求四边形OMAB
12、的面积.,【解析】(1)由 所以=(cost)2+(sint)2=1.所以曲线C的普通方程为 在3cos+2sin=12中,由cos=x,sin=y得3x+2y-12=0.所以直线l的直角坐标方程为3x+2y-12=0.,(2)由(1)可得M(0,-2),联立方程易得A(4,0),B(2,3),所以四边形OMAB的面积为 4(3+2)=6+4.,类型四用参数法求轨迹方程【典例4】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.,【解析】设M(x,y),设直线l1的方程为y-4=k(x-2),(k0)由l1l2,则直线l2的方程
13、为y-4=-(x-2),所以l1与x轴交点A的坐标为 l2与y轴交点B的坐标为,因为M为AB的中点,所以(k为参数)消去参数k,得x+2y-5=0.另外,当k=0时,l1与x轴无交点;当k不存在时,AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程.综上所述,M的轨迹方程为x+2y-5=0.,【方法技巧】建立参数求动点轨迹方程的方法步骤(1)首先根据运动系统的运动规律设参数,然后运用这些参数列式,再从这些式子中消参,最后讨论轨迹的纯粹性和完备性.(2)参数法求轨迹方程的关键是设参数,参数不同,整个思维和运算过程不同,若设参数不当,则会增大运算量.,(3)用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意
14、义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横、纵坐标等.也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意参数的取值范围.,【变式训练】1.动圆x2+y2-2axcos-2bysin=0(a,b是正常数,ab,是参数)的圆心的轨迹是()A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线,【解析】选C.动圆x2+y2-2axcos-2bysin=0(a,b是正常数,ab,是参数)的圆心坐标的参数方程为 普通方程为=1(a0,b0,ab),这是椭圆的普通方程.,2.过抛物线y2=2px(p0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,求弦AB的中点M的轨迹方程.,【解析】设M(x,y),直线OA的斜率为k(k0),则直线OB的斜率为-.直线OA的方程为y=kx,同理可得B(2pk2,-2pk).由中点坐标公式,得(k为参数)消去k,即得点M的轨迹方程y2=p(x-2p).,
