1、第二讲参数方程一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念、圆的参数方程,【自主预习】1.曲线的参数方程的定义一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数_,并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程.变数t叫做参变数,简称_.,参数,2.圆的参数方程,【即时小测】1.曲线(为参数)围成图形的面积等于()A.B.2C.3D.4,【解析】选D.曲线 即(为参数)表示圆心为(-1,3),半径为2的圆,所以面积等于4.,2.已知(t为参数),若y=1,则x=_.【解析】若y=1,则t2=1,则t=1,x=0或
2、2.答案:0或2,【知识探究】探究点参数方程的概念、圆的参数方程1.曲线的参数方程中参数的实际意义是什么?提示:在曲线的参数方程中,参数可以有明确的几何意义,也可以有明确的物理意义,如时间、旋转角等.当然也可以是没有实际意义的变数.,2.圆的参数方程中参数的几何意义是什么?提示:(1)圆的参数方程 中参数的几何意义:射线Ox绕点O逆时针旋转到OM(M(x,y)是圆上的任意一点)位置时转过的角度.如图所示.,(2)圆的参数方程 中参数的几何意义:如图所示,设其圆心为C,CM0 x轴,则参数的几何意义是CM0绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任意一点)位置时转过的角度.,【归纳总结】1.
3、曲线的参数方程的理解与认识(1)参数方程的形式:曲线上点的横、纵坐标x,y都是变量t的函数,给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因而得出唯一的对应点;但是横、纵坐标x,y之间的关系并不一定是函数关系.,(2)参数的取值范围:在表示曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围.因为取值范围不同,所表示的曲线也会有所不同.,2.参数方程与普通方程的统一性(1)参数的作用:参数是间接地建立横、纵坐标x,y之间的关系的中间变量,起到了桥梁的作用.(2)参数方程与普通方程的转化:曲线的普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间
4、接联系.,特别提醒:普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.,类型一参数方程的表示与应用【典例】已知曲线C的参数方程是(t为参数,aR)点M(-3,4)在曲线C上.(1)求常数a的值.(2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上.,【解题探究】典例中如何求常数的值?如何判断点与曲线的位置关系?提示:为了求常数的值,只需将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x,y,消去参数t,求a即可.要判断点与曲线的位置关系,只要将点的坐标代入曲线的参数方程检验即可,若点的坐标是方程的解,则点在曲线上,否则,点不在曲线上.,【解析】(1)将点M(-3,4)
5、的坐标代入曲线C的参数方程 得 消去参数t,解得a=1.,(2)由上述可得,曲线C的参数方程是 将点(1,0)的坐标代入参数方程得 得t=0,因此点(1,0)在曲线C上.将点(3,-1)的坐标代入参数方程得 方程组无解,因此点(3,-1)不在曲线C上.,【方法技巧】点与曲线的位置关系(1)动点的轨迹:满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线,点与曲线的位置关系有两种:点在曲线上,点不在曲线上.,(2)对于曲线C的普通方程f(x,y)=0,若点M(x1,y1)在曲线上,则点M(x1,y1)的坐标是方程f(x,y)=0的解,即有f(x1,y1)=0.若点N(x2,y2)不在曲线上,则点N(x2,y2)
6、的坐标不是方程f(x,y)=0的解,即有f(x2,y2)0.,(3)对于曲线C的参数方程(t为参数)若点M(x1,y1)在曲线上,则 对应的参数t有解,否则无解,即参数t不存在.,【变式训练】已知曲线C的参数方程为(t为参数).(1)判断点A(1,0),B(3,2)与曲线C的位置关系.(2)若点M(10,a)在曲线C上,求实数a的值.,【解析】(1)把点A(1,0)的坐标代入方程组,解得t=0,所以点A(1,0)在曲线上.把点B(3,2)的坐标代入方程组,得即 故方程组无解,所以点B不在曲线上.,(2)因为点M(10,a)在曲线C上,所以 解得 所以a=6.,类型二求曲线的参数方程【典例】长为
7、3的线段两端点A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动,点P的轨迹为曲线C.(1)以直线AB的倾斜角为参数,求曲线C的参数方程.(2)求点P到点D(0,-2)距离的最大值.,【解题探究】典例中点P是线段AB的几等分点?如何建立点的坐标的参数方程?如何求距离的最大值?提示:点P是线段AB的一个三等分点,利用三角函数建立点的坐标的参数方程.建立距离的目标函数,转化为二次函数求最大值.,【解析】(1)设P(x,y),由题意,得所以曲线C的参数方程为,(2)由(1)得|PD|2=(-2cos)2+(sin+2)2=4cos2+sin2+4sin+4=-3sin2+4sin+8=当 时,|PD|取得最大
8、值,【方法技巧】求曲线的参数方程的注意事项(1)求曲线的参数方程关键是确定参数,本题以线段所在直线的倾斜角为参数,通过解直角三角形得到曲线上动点坐标的三角函数方程.,(2)求两点间距离的最大值的关键是利用参数方程建立目标函数,通过配方法求函数的最值,要注意函数的定义域.,【变式训练】1.若x=t-1(t为参数),求直线x+y-1=0的参数方程.【解析】把x=t-1代入x+y-1=0,得y=-t+2,所以直线x+y-1=0的参数方程为,2.已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动,顶点B在x轴的非负半轴上移动,求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程.,【解析】如图,设C(x,y
9、),ABO=,过点C作x轴的垂线段CM,垂足为M.则 所以（为参数，0）为所求.,类型三圆的参数方程与应用【典例】(2016漳州高二检测)已知曲线C1:(t为参数),C2:(为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.,(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.,【解题探究】(1)如何根据参数方程判断曲线的形状?提示:将参数方程化为普通方程再判断曲线形状.(2)如何求点到直线距离的最小值?提示:利用参数方程化为三角函数的最小值求解.,【解析】(1)由曲线C1:(t为参数)得 利用三角函数的平方和公式消
10、去参数t,得C1:(x+4)2+(y-3)2=1,曲线C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.同理,得C2:曲线C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.,(2)当t=时,P(-4,4),Q(8cos,3sin),故 C3为直线x-2y-7=0,M到C3的距离d=|4cos-3sin-13|=|5cos(+)-13|,当cos(+)=1时,d取得最小值,【方法技巧】(1)圆的参数方程中的参数是角,所以圆上的点的坐标是三角函数.(2)与距离有关的最大值或最小值问题,常常利用圆的参数方程转化为三角函数解决.,【变式训练】1.(2016合肥高二检测)设曲线C的参数方程为(
11、为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为 的点的个数为()A.1B.2C.3D.4,【解析】选B.曲线C:(为参数)的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,表示圆心C(2,-1),r=3的圆,由于圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离为,又r-2d=所以r-dd,所以圆C上到l距离为 的点有2个.,2.已知点 Q是圆 上的动点,则|PQ|的最大值是_.,【解析】由题意,设点Q(cos,sin),则 故|PQ|max=答案:2,自我纠错参数方程表示曲线的判断【典例】(2016漳州高二检测)参数方程为(t为参数)表示的曲线是()A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是忽视了参数的取值范围从而导致缩小了x的取值范围.正确解答过程如下:,【解析】选D.由参数方程(t为参数),得t0,当t0时,x=t+2;当t0时,x=所以参数方程化为普通方程为y=2(x-2或x2),所以表示两条射线.,
