1、第一部分 夯实基础提分多,第三单元 函数,第15课时 二次函数的综合性问题,例1如图，已知抛物线yx2bxc与直线AB相交于A(3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C.抛物线对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.(1)求直线AB的解析式及点D、点C的坐标；,重难点精讲优练,例1题图,【思维教练】要求直线AB的解析式，可先设其一般式，将A、B点坐标代入即可求得；再分别代入yx2bxc求出待定系数，将解析式转化为顶点式即可求得点D坐标，令y0，解关于x的方程即可求出函数图象与x轴交点的横坐标,解：(1)设直线AB的解析式为ykxd(k0)，将A(3，0)、B(0，3)两点分
2、别代入直线解析式，得-3k+d=0 k=1 d=3，d=3，直线AB的解析式为yx3，将A(3，0)，B(0，3)两点分别代入抛物线的解析式，得,解得,-9-3b+c=0 b=-2 c=3，c=3，抛物线的解析式为yx22x3，化为顶点式得y(x1)24，抛物线顶点D的坐标为(1，4)，令y0，得x22x30，解得x13，x21，点C的坐标为(1，0)；,解得,(2)已知M是y轴上一点，连接AM、DM，若AMDM，且AMDM，求点M的坐标；,例1题图,【思维教练】由于点M是y轴上的坐标，则yMOM，又由于AMDM，可过D作y轴垂线DE，AOM和MED构成“一线三等角”的全等三角形，即可得到OM
3、长度，从而得到点M的坐标,解：如解图，过点D作DEy轴交于点E，AMDM，AMODME90，MAOAMO90，MAODME，AMMD，AOMDEM90，RtAMORtMDE(AAS)，MODE1，点M的坐标为(0，1)；,例1题解图,(3)求ABC的面积及四边形AOBD的面积；【思维教练】要求ABC的面积，可以以AC为底，BO为高来计算；对于求不规则图形的面积，常将所求图形分割成几个可以直接利用面积公式计算的规则图形，通过规则图形的面积和或差计算求解如本题中求四边形AOBD的面积，因其形状不规则,例1题图,故可将其分割为RtADE与直角梯形OBDE，分别求出其面积再相加，即可得到四边形AOBD
4、的面积,解：点A(3，0)，点B(0，3)，点C(1，0)，AO3，OC1，OB3，AC4，BOAC，SABC ACBO 436；连接AD、DB，如解图，点D(1，4)，DEx轴,于点E，点E(1，0)，AE2，OE1，DE4，S四边形AOBDSADES梯形OBDE AEDE(BODE)OE 24(34)1；,例1题解图,例1题图,(4)在x轴上方的抛物线上是否存在一点G，使得SACG2，若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由；【思维教练】观察图形可知ACG的面积为ACyG，过点G作GGx轴交于点G，设点G的横坐标为g，以AC为底，GG为高即可得到SACG关于g的函数解析式，再令用g表示的,
5、SACG为2，求解即可,解：假设存在点G，使得SACG2.连接AG，GC，如解图，点G在x轴上方的抛物线上，过点G作GGx轴交于点G，设点G的坐标为(g，g22g3)，则g22g30，,例1题解图,SACG ACGG 4(g22g3)，4(g22g3)2，解得g11，g2 1，满足题意的点G有两个，坐标为(1，1)，(1，1)；,例1题图,(5)在x轴上是否存在一点P，使得PBPD的值最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】作D关于x轴的对称点D，连接BD，则BD与x轴交点即为P点,解：(5)存在理由如下：如解图，作点D关于x轴的对称点D，D(1，4)，连接BD交x轴于
6、点P，此时PBPD的值最小，为BD的长,例1题解图,设直线BD解析式为ykxb(k0)，则，解得直线BD解析式为y7x3，当y0时，x，点P的坐标为(，0)；,例1题图,(6)已知点P是第二象限内抛物线上一动点，设点P的横坐标为p，ABP的面积为S，求S关于p的函数解析式；当p为何值时，S有最大值，最大值是多少？【思维教练】要求ABP的面积，可构造平行于y轴的边，即过点P作PPy轴交直线AB于点P，则PP将ABP分成APP,和BPP两部分，据此求出ABP的面积，结合二次函数性质求出其最大值即可,解：(6)如解图，点P在抛物线上，点P的坐标为(p，p22p3)，过点P作PPy轴交直线AB于点P，
7、则P(p，p3)，则PP(p22p3)(p3)p23p，,例1题解图,SABP OAPP 3(p23p)p2 p，即S p2 p(p)2，点P在第二象限的抛物线上，3 p0，0，当p 时，S有最大值，最大值为.,例2如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，直线BC的解析式为ykx3，抛物线的顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F.(1)求抛物线的解析式；,例2题图,【思维教练】已知A，B点坐标，可将抛物线解析式设为交点式，然后代入C点坐标，求解即可，而C点是直线ykx3与y轴的交点，只需令x0，求出y的值即可求得C点坐标,解：(
8、1)A(1，0)，B(3，0)，可设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)，直线BC的解析式为ykx3，令x0，得y3，点C的坐标为(0，3)，将C(0，3)代入，得3a3，解得a1，抛物线的解析式为y(x1)(x3)x22x3；,(2)连接CA，CF，判断CAF的形状，并说明理由；【思维教练】观察题图猜想CAF是以AC、FC为腰的等腰三角形，又COAF，所以只需求证AOFO即可A点坐标已知，F点为对称轴与x轴的交点，只需根据抛物线解析式求出对称轴即可,例2题图,解：CAF是等腰三角形理由如下：抛物线的对称轴为x1，点F的坐标为(1，0)，AOOF1，COAF，CO是线段AF的垂直平分线，CAC
9、F，CAF是等腰三角形；,(3)x轴上是否存在点G，使得ACG是以AC为底边的等腰三角形，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；【思维教练】当ACG是以AC为底边的等腰三角形时有AGCG，设出点G坐标，然后表示出AG和CG，列关系式即可求解，若有解，则存在，否则不存在,例2题图,解：存在如解图，作AC的垂直平分线，交x轴于点G，则点G即为所求设点G的坐标为(g，0)，在RtCOG中，CO3，OGg，由勾股定理得CG2CO2OG29g2，又AGg1，AGCG，(g1)29g2，解得g4，此时点G的坐标为(4，0)；,例2题解图,(4)连接CD、BD，判断CBD和CDE的形状，并说明理由；
10、【思维教练】过点C作CCDE于点C，分别计算出CD2、BC2、BD2.再根据勾股定理的逆定理即可判定CBD的形状，结合DCEC得到CDCE，即可判定CDE的形状,例2题图,解：CBD为直角三角形，CDE为等腰直角三角形理由如下：如解图，过点C作CCDE于点C，由(1)知，yx22x3(x1)24，顶点D的坐标为(1，4)，在RtDCC中，由勾股定理得CD22，在RtBDF中，由勾股定理得BD2DF2,例2题解图,BF220，又BC2OB2OC218，BC2CD2BD2，CBD是以DCB为直角的直角三角形，CCDE，DC1，直线BC的解析式为yx3，点E的坐标为(1，2)，EC1，DCEC，CC
11、垂直平分DE，CDCE，CDE是等腰三角形，又DCB90，CDE是等腰直角三角形；,(5)在x轴上是否存在点G使得BGE是直角三角形，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；【思维教练】由EBO90，可知要使BGE是直角三角形只需分EGB90或GEB90两种情况讨论即可求解,例2题图,解：存在理由如下：点G在x轴上，设点G的坐标为(g，0)(i)由EFx轴，易得当点G与点F重合时，BEG是以EGB为直角的直角三角形，此时点G的坐标为(1，0)；(ii)当GEEB即GEB90时，EBG45，EGB45，EGEB，,EFBG，GFBF2，点G与点A重合，其坐标为(1，0)；使BGE为直角三角形的点G坐标为(1，0)或(1，0),温馨提示：点击完成练习册word习题,此页为万唯教育品牌故事页（待课件定稿后最终文案向品牌部要）,
