1、13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形（第1课时）,下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？,1.掌握等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.,2.探索等边三角形的性质和判定,3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明,小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？,等边三角形的性质,10cm,6cm,10cm,10cm,10cm,10cm,等腰三角形,等边三角形,一般三角形,在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形
2、.,等边对等角,三线合一,等角对等边,两边相等,两腰相等,轴对称图形,A,B,C,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,等边三角形的三个内角之间有什么关系？,等腰三角形,AB=AC,B=C,等边三角形,AB=AC=BC,AB=AC,B=C,AC=BC,A=B,A=B=C,=60,问题1：,结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60.,已知：AB=AC=BC，求证：A=B=C=60.,证明：AB=AC，B=C.(等边对等角)同理 A=C.A=B=C.A+B+C=180,A=B=C=60.,等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？,结论:等边三角形每条边上的中线、高和
3、所对角的平分线都“三线合一”.,顶角的平分线、底边的高底边的中线三线合一,一条对称轴,三条对称轴,问题2：,每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合,三个角都相等，,对称轴（3条）,等边三角形,对称轴（1条）,两个底角相等,底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合,且都是60,两条边相等,三条边都相等,归纳总结,例1 如图，ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若ABE40，BEDE，求CED的度数,解：ABC是等边三角形，ABCACB60.ABE40，EBCABCABE60 4020.BEDE，DEBC20，CEDACBD40.,解决与等边三角形有
4、关的计算问题，关键是注意“每个内角都是60”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.,如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，延长BC到E，使得CE=CD求证：BD=DE,证明：ABC是等边三角形，BD是角平分线，ABC=ACB=60，DBC=30又CE=CD，CDE=CED又BCD=CDE+CED，CDE=CED=30DBC=DECDB=DE（等角对等边）,例2 ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BMCN，BN与AM相交于Q点，BQM等于多少度？,解：ABC为等边三角形，ABCCBAC60，ABBC.又BMCN，AMBBN
5、C(SAS)，BAMCBN，BQMABQBAMABQCBNABC60.,此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.,如图，已知ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F（1）求证：ABECAD；（2）求BFD的度数,（1）证明：ABC为等边三角形，BAC=C=60，AB=CA，即BAE=C=60，在ABE和CAD中，ABECAD（SAS）（2）解：BFD=ABE+BAD，又ABECAD，ABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=60,三个角都相等的三角形是
6、等边三角形,等边三角形,从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形,从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形,三条边都相等的三角形是等边三角形,小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60的三角形也是等边三角形”，你同意吗？,等边三角形的判定方法：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.,（1）,（2）,（6）,（5）,不是,是,是,是,是,（4）,（3）,不一定是,例1 如图，在等边三角形ABC中，DEBC，求证：ADE是等边三角形.,证明：,ABC是等边三角形，,A=B=C.,DE/BC,ADE=B,AED=C.,A=ADE=AED.,ADE是等边
7、三角形.,证明：ABC 是等边三角形，A=ABC=ACB=60 DEBC，ABC=ADE，ACB=AED.A=ADE=AED.ADE 是等边三角形.,若点D,E 在边AB,AC 的延长线上，且 DEBC，结论还成立吗？,若点D,E 在边AB,AC 的反向延长线上，且DEBC，结论依然成立吗？,证明：ABC 是等边三角形，BAC=B=C=60DEBC，B=D，C=EEAD=D=EADE 是等边三角形,上题中,若将条件DEBC改为AD=AE,ADE还是等边三角形吗?试说明理由.,证明：,ABC是等边三角形，,A=B=C.,AD=AE,ADE=B,AED=C.,A=ADE=AED.,ADE是等边三角
8、形.,例2 等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，问APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论,解：APQ为等边三角形证明如下：ABC为等边三角形，ABAC.BPCQ，ABPACQ，ABPACQ(SAS)，APAQ，BAPCAQ.BACBAPPAC60，PAQCAQPAC60，APQ是等边三角形,判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60.,证明：ABC为等边三角形，且AD=BE=CFAF=BD=CE，A=B=C=60，ADFBEDCFE（SAS），DF=ED
9、=EF，DEF是等边三角形,如图，等边ABC中，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF求证：DEF是等边三角形,解析：ABC是等边三角形，BAC=60，AB=AC又点D是边BC的中点，BAD=1 2 BAC=30,如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则BAD=_,30,2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DEBC，则这个图形中的等腰三角形共有（）,A.4个 B.5个 C.6个 D.7个,D,1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A105 B120 C135 D150,B,3.在等边ABC中，BD平分ABC，BD=BF，则CDF的度数是（）A10 B1
10、5 C20 D25,4.如图,ABC和ADE都是等边三角形，已知ABC的周长为18cm,EC=2cm,则ADE的周长是 cm.,12,B,5.如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以AB为边在ABC外作等边ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F求证：AEFBEC,证明：ABD是等边三角形，DAB=60，CAB=30，ACB=90，EBC=1809030=60，FAE=EBCE为AB的中点，AE=BE又 AEFBEC，AEFBEC（ASA）,如图，A,O,D三点共线，OAB和OCD是两个全等的等边三角形，求AEB的大小.,解：,OAB和OCD是两个全等的等边三角形.,AO=BO
11、,CO=DO,AOB=COD=60.,A,O,D三点共线，,DOB=COA=120.,COA DOB(SAS).,DBO=CAO.,设OB与EA相交于点F,EFB=AFO，,AEB=AOB=60.,F,图、图中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是等边三角形(1)如图，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究CEF的形状，并证明你的结论,解：(1)ANBM.ACM与CBN都是等边三角形，ACMC，CNCB，ACMBCN60.ACNMCB.ACNMCB(SAS)ANBM.,图,(2)CEF是等边三角形证明：ACEFCM=60，ECF=60.ACNMCB，CAECMB.ACMC，ACEMCF(ASA)，CECF.CEF是等边三角形,图,等边三角形,
