1、2.5指数与对数考情考向分析幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础，对数的概念和运算性质，换底公式等是研究指数函数、对数函数的前提，在高考中涉及面比较广1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果axn，那么x叫做a的n次实数方根n1且nN*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数0的n次实数方根是0当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数负数没有偶次方根(2)两个重要公式(n为偶数)；()na(注意a必须使有意义)2有理指数幂(1)分数指数幂的表示正数的正分数指数幂是(a0，m，nN*，n1)；正数的负分数指数幂是(a0，m，nN*，n1)；
2、0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义(2)有理指数幂的运算性质asatast(a0，t，sQ)；(as)tast(a0，t，sQ)；(ab)tatbt(a0，b0，tQ)3对数的概念(1)对数的定义一般地，如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么称b是以a为底N的对数，记作blogaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数底数的对数是1，即logaa1,1的对数是0，即loga10.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a1)logaN常用对数底数为10lg N自然对数底数为eln N4.对数的性质与运算法则(1)对数的性质N(a0且a1，N0)；logaa
3、NN(a0且a1)(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1，N0)；logab(a，b均大于零且不等于1)(3)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logaM.概念方法微思考根据对数的换底公式，(1)思考logab，logba的关系；(2)化简.提示(1)logablogba1；(2)logab.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()na(nN*)()(2)分数指数幂可以理解为个a相乘()(3)2a2b2ab.()(4)若M
4、N0，则loga(MN)logaMlogaN.()(5)若lg x21，则x.()题组二教材改编2P61例2计算： .答案3P80习题T6计算：(lg 5)2lg 2lg 50 .答案14P80习题T12已知lg 6a，lg 12b，那么用a，b表示lg 24 .答案2ba题组三易错自纠5要使(a4)0有意义，则a的取值范围是 答案2,4)(4，)解析要使原式有意义，则满足解得2a4.6有下列结论：lg(lg 10)0；lg(ln e)0；若lg x1，则x10；若log22x，则x1；若logmnlog3m2，则n9.其中正确结论的序号是 答案解析lg 101，则lg(lg 10)lg 10
5、；lg(ln e)lg 10；底的对数等于1，则x10；底的对数等于1；logmn，log3m，则2，即log3n2，故n9.题型一指数幂的运算1.(a0)的值是 答案解析2化简：(a0) .答案a2解析原式3已知xx13，则的值为 答案2解析x2x15，(31)2.4已知a，b是方程x26x40的两根，且ab0，则 .答案解析由已知得，a3，b3，所以ab6，ab4，所以2.因为ab0，所以，所以.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3
6、)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数题型二对数的运算1设2a5bm，且2，则m .答案解析由已知，得alog2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得m.2计算： .答案20解析原式(lg 22lg 52)lg10lg 1021021020.3计算： .答案1解析原式1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算题型三指数与对数的综合运算例
7、(1)已知均不为1的正数a，b，c满足axbycz，且0，求abc的值解令axbyczk.由已知k0且k1，于是xlg aylg bzlg clg k，故，.因为0，所以0，即0.故lg(abc)0，得abc1.(2)设logaC，logbC是方程x23x10的两根，求的值解由题意，得即于是有(logCalogCb)2(logCalogCb)24logCalogCb3245，故logCalogCb.于是1.思维升华 指数、对数的综合运算，要充分利用对数的定义、指数、对数的运算性质，建立已知条件和所求式子间的联系跟踪训练 (1)若alog231，blog351，则9a5b .答案7解析alog3
8、2，blog53，于是(2)方程3x1的实数解为 答案xlog32解析原方程可化为2(3x)253x180，即(3x2)(23x9)0,3x2(23x9舍去)，得xlog32.(3)若log2log3xlog3log2ylog2log2z1，则x2，y3，z4从小到大的排列为 答案x2z4y3解析由题设得log3x2，log2y3，log2z2，即x32，y23，z22，故x234，y329，z428，所以x2z40)，则a2aa2a1的值为 答案11解析由a3，得29，即a229，故a2a211.又(aa1)2a2a2211213，且a0，所以aa1.于是a2aa2a111.4设alog31
9、0，blog37，则3ab .答案解析alog310，blog37，3a10,3b7，3ab.5lg22lg 250lg25lg 40 .答案1解析lg22lg 250lg25lg 40lg22(1lg 2)2(2lg 21)lg22(32lg 2)(lg222lg 21)(2lg 21)1.6已知alog32，那么log382log36用a表示为 答案a2解析log382log36log3232(log32log33)3log322(log321)3a2(a1)a2.7若3x4y36，则 .答案1解析3x4y36，两边取以6为底的对数，得xlog63ylog642，log63，log64，即
10、log62，故log63log621.8设f(x)则f(f(2) .答案解析因为f(2)22，所以f(f(2)f 11.9若a0，且ax3，ay5，则 .答案9解析10(2018徐州、连云港、宿迁检测)设函数f(x)则f(f(1)的值为 答案2解析因为f(1)41，所以f(f(1)f log22.11化简下列各式：(1)0.50.1230；(2)解(1)原式31003100.(2)原式.12若lg(xy)lg(x2y)lg 2lg xlg y，求的值解由已知得lg(xy)(x2y)lg(2xy)，则(xy)(x2y)2xy，即x2xy2y20，也即(x2y)(xy)0.因为x0，y0，所以xy
11、0，于是有x2y，即2.13若a1，b1，b0，0ab1.又(abab)2a2ba2b28，a2ba2b6，(abab)2a2ba2b24，abab2.14已知loga18p，loga24q，用p，q表示loga1.5.解依题意有即变形为解得所以loga1.5logaloga3loga2，即loga1.5.15已知ab1，若logablogba，abba，则ab .答案8解析ab1，logba1，又由logablogba，得logba，可得logba2，ab2，又abba，b2b，b2(b0舍去)，a4，故ab8.16已知m，n为正整数，a0，a1，且 loga(mn)logamlogan，求m，n的值解loga(mn)logamloganloga(mn)比较真数得mnmn，即(m1)(n1)1.m，n为正整数，解得
