1、11.2排列与组合考情考向分析以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以解答题为主，难度为中档1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1) (2)C
2、性质(3)0！1；An！(4)CC；CCC_概念方法微思考1排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合2排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示(1)排列数与组合数之间的联系为CAA.(2)两种形式分别为：连乘积形式；阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证3解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”
3、就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)(n1)！n！nn！.()(4)若组合式CC，则xm成立()(5)kCnC.()题组二教材改编2P29习题T56把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为_答案24解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A43224.
4、3P24习题T7某校拟从4名男教师和5名女教师中各选2名教师开设公开课，则男教师A和女教师B至少有一名被选中的不同选法的种数是_答案42解析从4名男教师和5名女教师中各选2名教师开设公开课，所有的选法种数是CC60.男教师A和女教师B都没有被选中的选法种数是CC18，故男教师A和女教师B至少有一名被选中的不同选法的种数是601842.题组三易错自纠4六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种答案216解析第一类：甲在最左端，有A54321120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A4432196(种)排法所以共有12096216(种)排法5为
5、发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为_答案540解析依题意，选派方案分为三类：一个国家派4名，另两个国家各派1名，有A90(种)；一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有CCCA360(种)；每个国家各派2名，有A90(种)，故不同的选派方案种数为9036090540.6寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有_种(用数字作答)答案45解析设5名同学也用A，B，C
6、，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9545(种)题型一排列问题1用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有_个答案78解析根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A24(个)；当首位是2,4,5时，由于百位数不能是数字
7、3，则符合要求的五位数有3(AA)54(个)，因此共有542478(个)这样的五位数符合要求2某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)答案1 560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A40391 560(条)留言36名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有_种不同站法答案480解析方法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A种站法；第2步，余下4人(含甲)
8、站在剩下的4个位置上，有A种站法由分步计数原理可知，共有AA480(种)不同的站法方法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A种站法；第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A种站法由分步计数原理可知，共有AA480(种)不同的站法思维升华 排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采
9、用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法题型二组合问题例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员解(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有C种选法；第二步，选2名女运动员，有C种选法由分步计数原理可得，共有C C120(种)选法(2)方法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分类计数原理可得总选法共有CCCCCCCC246(种)方法二“至
10、少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种所以“至少有1名女运动员”的选法有CC246(种)(3)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为C；“只有女队长”的选法种数为C；“男、女队长都入选”的选法种数为C，所以共有2CC196(种)选法方法二(间接法)从10人中任选5人有C种选法，其中不选队长的方法有C种所以“至少有1名队长”的选法有CC196(种)(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有(CC)种所
11、以既要有队长又要有女运动员的选法共有CCC191(种)思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理跟踪训练1 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不
12、能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C561(种)取法，某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者CCC5 984(种)取法某一种假货不能在内的不同取法有5 984种(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC2 100(种)取法恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CCC2 1004552 555(种)至少有
13、2种假货在内的不同的取法有2 555种(5)方法一(间接法)选取3种的总数为C，因此共有选取方式CC6 5454556 090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种方法二(直接法)选取3种真货有C种，选取2种真货有CC种，选取1种真货有CC种，因此共有选取方式CCCCC6 090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种题型三组合数的性质例2 (2016江苏)(1)求7C4C的值；(2)设m，nN*，nm，求证：(m1)C(m2)C(m3)CnC(n1)C(m1)C.(1)解7C4C7204350.(2)证明当nm时，结论显然成立当nm时，(k1)C(m1)(m1)C，km
14、1，m2，n.又因为CCC，所以(k1)C(m1)(CC)，km1，m2，n.因此，(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m1)(CC)CC(CC)(m1)C.思维升华 (1)组合数的性质可结合实际问题理解记忆(2)利用kCnC和CCC可有效解决一些常见组合数的求和问题跟踪训练2 已知m，nN*，定义fn(m).(1)求f4(2)，f4(5)的值；(2)证明：k2kfn(k)2n3n1.(1)解f4(2)6，f4(5)0.(2)证明fn(m)当n1时，k2kfn(k)22n3n1，等式成立当n2时，k2kfn(k)12fn(1)222fn(
15、2)323fn(3)n2nfn(n)12C222C323Cn2nC，由于k Ck n n C，所以k2nfn(k)n2Cn22Cn23Cn2nC2n(12)n12n3n1，综上所述，nN*，k2kfn(k)2n3n1成立题型四排列与组合的综合问题命题点1相邻问题例3 为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案有_种答案360解析甲校派1人，其余5人分为(1,4)，(2,3)两组，故有C(CC)A150(种)，甲校派2人，其余4人分为(1,3)，(2,2)两组，故有C(CAC)140(种)，甲校派3人，其
16、余3人分为(1,2)一组，故有CCA60(种)，甲校派4人，共余2人分为(1,1)一组，故有CA10(种)，根据分类计数原理，可得共有1501406010360(种)分配方案命题点2相间问题例4 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_答案120解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有ACA36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，
17、三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有AA48(种)安排方法，故共有363648120(种)安排方法命题点3特殊元素(位置)问题例5 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有_种答案24解析根据题意，分两种情况讨论：A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个
18、家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有CCC12(种)乘坐方式；A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有CCC12(种)乘坐方式，故共有121224(种)乘坐方式思维升华 解排列、组合问题要遵循的两个原则按元素(位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)跟踪训练3 (1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种答案
19、36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法于是符合题意的摆法共有AAAA36(种)(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有_种不同的选法(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法由分步计数原理知，共有CCA480(种)选法有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法由分步计数原理
20、知，共有CA180(种)选法所以依据分类计数原理知，共有480180660(种)不同的选法方法二不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，故至少有1名女生的选法有ACAC840180660(种)1“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有_种答案600解析从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有CA600(种)不同的排列方式2用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_答案72解析由题意可知，五位数
21、要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种选法，再将剩下的4个数字排列有A种排法，则满足条件的五位数有CA72(个)3某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为_答案24解析将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4624(种)方法4安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有_种答案36解析由题意可知，其中1人必须完
22、成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C C A36(种)，或列式为C C C3236(种)5从A，B，C，D，E，F这6种不同的花朵中选出4种，插入4只不同的花瓶中展出，如果第1只花瓶内不能插入C，那么不同的插法种数为_答案300解析由题意知，当选出的四朵花不含有C时，有A120(种)结果，当选出的四朵花包含C时，先选出3朵花和C一起排列，C有三种结果，余下的三朵花在三个位置全排列有CCA180(种)结果，根据分类计数原理得共有120180300(种)不同的插法6有7个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有_种(用数字作答)答案480解析根据题意，分2步进行
23、分析：将4人全排列，安排在4个座位上，有A24(种)情况，排好后，有5个空档可用；将3个空座位分成1,2的两组，将其安排在5个空档之中，有A20(种)情况，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有2420480(种)7在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_(用数字作答)答案120解析1男4女，有CC45(种)选取方式；2男3女，有CC60(种)选取方式；3男2女，有CC15(种)选取方式；共有456015120(种)不同的选取方式8在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用
24、数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人，相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有CA种分法总获奖情况共有ACA60(种)9(2018南通模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有_种(用数字作答)答案120解析先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲、乙中间，有CA12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有CA10(种)，故不同的发言顺序共有1210120(种)10某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个
25、房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有_种不同的安排方法(用数字作答)答案114解析5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有CA60(种)，A，B住同一房间有CA18(种)，故有601842(种)，当为(2,2,1)时，有A90(种)，A，B住同一房间有CA18(种)，故有901872(种)，根据分类计数原理可知，共有4272114(种)不同的安排方法11.某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图所示)(1)图中共有多少个矩形？(2)从点A到点B最近的走法有多少种？解(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条
26、线可组成1个矩形，故可组成矩形CC210(个)(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有CC210(种)走法(同样可从10段中选4段走南北方向，每种选法即是1种走法)，所以共有210种走法12设n3，nN*，在集合1,2，n的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a，较小元素之和记为b.(1)当n3时，求a，b的值；(2)求证：对任意的n3，nN*，为定值(1)解当n3时，集合1,2,3的所有元素个数为2的子集为
27、1,2，1,3，2,3，所以a2338，b1124.(2)证明当n3，nN*时，依题意，b1C2C3C(n2)C(n1)Ca2C3C4C(n1)CnC213243(n1)(n2)n(n1)则CCCCCCCCCCCC.所以a2C.又ab(123n)C(n1)3C，所以bC，所以(定值)137人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为_答案360解析前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有CC种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A种方法；若相邻，有CA种方法，故共有CC(ACA)360(种)
28、不同的加入方法14设三位数n，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？解a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c1,2,3，9若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数字都相同，所以n1C9；若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有2C组，但当大数为底时，设ab，必须满足ba2b，此时，不能构成三角形的数字是a98765432b4,3,2,14,3,2,13,2,13,2,11,21,211共20
29、种情况同时，每个数组(a，b)中的两个数字填上三个数位，有C种情况，故n2C(2C20)156.综上，nn1n2165.15在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有_种答案150解析这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能：第一种，“2,2,1”，其安排方法有90(种)；第二种，“3,1,1”，其安排方法有60(种)，满足题意的安排方法共有9060150(种)16设集合A(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6,7，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x7|4”的元素个数为_答案938解析A中元素为有序数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)，题中要求有序数组的7个数中仅有1个1，仅有2个1，仅有3个1或仅有4个1，所以共有C2C22C23C24938(个)
