1、.第三节三重积分三重积分的定义与性质三重积分的中值定理设函数 f(x,y,z)在闭区域 上连续，V 是 的体积，则 上至少存在一点(,)，使得f(x,y,z)dv=f(,)V.?直角坐标系下，先重后单(截面法)或先单后重(投影法)?|?max?min?.三重积分中的轮换对称性三重积分中的轮换对称性指的是，轮换坐标轴(x 轴，y 轴，z 轴)，积分区域 的表示不变.此时，相应地轮换被积函数中的 x，y，z的位置，积分值不变.设 f(x,y,z)是有界闭区域 上的连续函数.若积分区域 对变量x，y，z 具有轮换对称性，则f(x,y,z)dv=f(y,z,x)dv=f(z,x,y)dv=13f(x,
2、y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)dv.常见的具有轮换对称性的空间区域(a)(b)xyz(c)OxyzO(d)111111zyxzyxOOOORRRRRR.在直角坐标系下计算三重积分.1先单后重.2先重后单.xbay=y2(x)y=y1(x)z=z2(x,y)yzz1z2S2S1Dxy(x,y)z=z1(x,y)Oxyzzc1ODz(a)(b)c2.例 11.计算三重积分xdxdydz，其中 为三个坐标面与平面x+2y+z=1 所围成的闭区域.如果延续刚才的截面法，我们的计算是这样的.Dz=(x,y)|x+2y 1z,x 0,y 0=(x,y)|0 y 1 z x2,0 x 1z.x
3、dv=10dz1z0 xdx1zx20dy=10dz1z0 x(1 z x2)dx=10dz1z0(1 z2x x22)dx=10(1 z4x2x36)?1z0dz=11210(1 z)3dz=148.这种做法没有沿着平行于 yOz 面来截面的做法计算简单.例 12.计算三重积分z2dxdydz，其中 为椭球面x2a2+y2b2+z2c2=1 所围成的空间闭区域.在柱面坐标系下计算三重积分点 M 的直角坐标与柱面坐标的关系为x=rcos,y=rsin,z=z.把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式为f(x,y,z)dxdydz=F(r,z)rdrddz,其中 F(r,z)=f(rcos
4、,rsin,z)，rdrddz 为柱面坐标系中的体积元素，有时也采用 dddz 这种记号.(a)(b)xOyzP(r,)M(x,y,z)zrOxyzzyxMPr.在球面坐标系下计算三重积分点 M 的直角坐标与球面坐标的关系为x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos.把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式为f(x,y,z)dxdydz=F(r,)r2sindrdd,其中 F(r,)=f(rsincos,rsinsin,rcos)，r2sindrdd为球面坐标系中的体积元素.例 13.(x2+y2)dv，其中 是由曲面 4z2=25(x2+y2)及平面 z=5所围成的闭区域.例 14.计算三重积分 I=(xa+yb+zc)2dv，其中 为球心在原点的单位球体.?见讲义第三节同步习题.
