1、.第三节极限的计算?0,0,010,00?.极限计算三剑客泰勒公式洛必达法则等价无穷小替换.常见的等价无穷小替换当 x 0 时，(1)sinx x,(2)tanx x,(3)1 cosx x22,(4)arcsinx x,(5)arctanx x,(6)(1+x)1 x(=0),(7)ex 1 x,(8)ax 1 xlna,(9)ln(1+x)x,(10)loga(1+x)换底公式=ln(1+x)lnaxlna，其中 a 0 且 a=1.常用的泰勒公式sinx=x x33!+o(x3),arcsinx=x+x36+o(x3),tanx=x+x33+o(x3),arctanx=x x33+o(x
2、3),cosx=1 x22!+o(x2),ex=1+x+x22!+o(x2),11+x=1 x+x2+o(x2),ln(1+x)=x x22+o(x2).洛必达法则未定式条件结论00型设(1)limxaf(x)=0 且 limxaF(x)=0；(2)在点 a 的某去心邻域内，f(x)及 F(x)都存在且F(x)=0；(3)limxaf(x)F(x)存在(或为无穷大)，则 limxaf(x)F(x)=limxaf(x)F(x).型设(1)limxaf(x)=且 limxaF(x)=；(2)在点 a 的某去心邻域内，f(x)及 F(x)都存在且F(x)=0；(3)limxaf(x)F(x)存在(或
3、为无穷大)，型设(1)limxaF(x)=(不要求 limxaf(x)=)；(2)在点 a 的某去心邻域内，f(x)及 F(x)都存在且F(x)=0；(3)limxaf(x)F(x)存在(或为无穷大)，.使用洛必达法则时应注意的问题考虑极限 limxaf(x)g(x)，a 可以为.(1)在使用洛必达法则时，要对极限式的分子、分母进行讨论.只有当极限式为00型、型或型时，才可以使用洛必达法则.(2)在使用洛必达法则时，一定要注意分子、分母在求极限的点附近是否可导，并且分母的导数不为零.(3)对离散型函数不能直接使用洛必达法则，需将其连续化.(4)洛必达法则通过计算 limxaf(x)g(x)来得到 limxaf(x)g(x).它很有效，但并不是通用的.有时候，即使 limxaf(x)g(x)不存在，limxaf(x)g(x)也可能存在.(5)若 limxaf(x)g(x)仍为未定式极限，则应继续化简并重复上述求极限的步骤.?.例 9.计算下列极限.(1)limx0exsinx111x2.(2)limx0+(cosx)x.(3)limx+(x1x 1)1ln x.(4)limx0(1+x1ex1x).(5)limx0(2+e1x1+e4x+sinx|x|).(6)limx0etan xesin xx3.?见讲义第三节同步习题.
