1、.第五节曲线的凹凸性、拐点及渐近线?.凹凸性的定义与几何性质设函数 f(x)在区间 I 上连续，x1，x2为 I 中任意两点.不妨设x1 x2.若恒有 f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2，则称曲线 y=f(x)在区间 I 上凸，如图(b).(a)(b).几何性质曲线与弦的位置关系过凹(凸)曲线 y=f(x)上的任意两点的弦均位于该曲线之上(下).曲线与切线的位置关系凹(凸)曲线 y=f(x)上的任意一点处的切线均位于该曲线之下(上).拓展(2022，一、二)设函数 f(x)在(,+)上有二阶连续导数，证明：f(x)0 的充分必要条件是对任意不同的实数 a，b，都有 f(a+b2)1ba
2、baf(x)dx 成立.凹凸性与二阶导数的关系设函数 f(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内二阶可导.若在(a,b)内f(x)0，且等号仅在有限个点处成立，则曲线 y=f(x)在 a,b上凹；若在(a,b)内 f(x)0，且等号仅在有限个点处成立，则曲线 y=f(x)在 a,b 上凸.例 19.设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1x)+f(1)x，则在区间0,1 上()(A)当 f(x)0 时，f(x)g(x).(B)当 f(x)0 时，f(x)g(x).(C)当 f(x)0 时，f(x)g(x).(D)当 f(x)0 时，f(x)g(x).例 20.设函数 fi(x)
3、(i=1,2)具有二阶连续导数，且 fi(x0)0.(B)当 f(x0)0 时，f(x)在 x0的某邻域内单调增加.(C)当 f(x)在 x0的某邻域内是凹函数时，f(x0)0.(D)当 f(x0)0 时，f(x)在 x0的某邻域内是凹函数.拐点的定义设 y=f(x)在区间 I 上连续，x0是 I 内的点.若曲线 y=f(x)在经过点(x0,f(x0)时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x0,f(x0)是该曲线的拐点.拐点的必要条件若函数 f(x)在区间 I 内二阶可导，x0是 I 内的点，且点(x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点，则 f(x0)=0.充分条件第一充分条件第二充分条件若 y
4、=f(x)在点 x0处具有三阶导数，且 f(x0)=0，f(x0)=0，则点(x0,f(x0)是 y=f(x)的拐点.第三充分条件视频：【考研数学】拐点的第三充分条件b 站考研数学李艳芳.求区间 I 上的连续曲线 y=f(x)的拐点(i)求 f(x).(ii)解出方程 f(x)=0 在区间 I 内的所有实根，并找出区间 I 内f(x)不存在的点.(iii)若 x0为(ii)中所求得的点，则判断 f(x)在 x0左、右小邻域内的符号.若 x0两侧的 f(x)的符号异号，则点(x0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点，否则不是.例 21.求曲线 y=3x 的拐点.例 22.设函数 f(x)在(,+
5、)内连续，其导函数的图形如图所示，则()(A)函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点.(B)函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 3 个拐点.(C)函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 1 个拐点.(D)函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点.渐近线若曲线 y=f(x)上的动点 M 沿曲线无限地远离原点时，点 M 与某固定的直线 L 的距离趋向于零，则称 L 是曲线 y=f(x)的渐近线.分为以下三种情形.(1)若limxa+f(x)=或者limxaf(x)=，则称直线 x=a 为曲线y=f(x)的铅直渐近线.
6、(2)若limx+f(x)=c 或者limxf(x)=c(c 为有限值)，则称直线 y=c为曲线 y=f(x)的水平渐近线.(3)若limx+f(x)x=a=0 且limx+f(x)ax=b，或者limxf(x)x=a=0 且limxf(x)ax=b，则称直线 y=ax+b 为曲线y=f(x)的斜渐近线.渐近线的求法1 考虑 f(x)的无定义的点，判断 f(x)是否存在无穷间断点.若存在无穷间断点 x0，则 x=x0为 y=f(x)的铅直渐近线.2 考虑limx+f(x)和limxf(x).若limx+f(x)=A，则 y=A 为 y=f(x)的水平渐近线，若limx+f(x)=，则进入步骤 3；若limxf(x)=A，则 y=A 为y=f(x)的水平渐近线，若limxf(x)=，则进入步骤 3.3 若limx+f(x)x=k=0，limx+f(x)kx=b，则直线 y=kx+b 为y=f(x)的斜渐近线；若limxf(x)x=k=0，limxf(x)kx=b，则直线 y=kx+b 为 y=f(x)的斜渐近线.例 23.求函数 y=(x 1)e2+arctanx的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.?见讲义第五节同步习题.
