1、.第五节定积分的应用元素法几何应用平面图形的面积、曲线弧长、旋转体的体积、侧面积等.物理应用变力做功、液体压力、引力等.元素法一般地，如果某一实际问题中的所求量 U 符合下列条件：(1)U 是与一个变量 x 的变化区间 a,b 有关的量；(2)U 对于区间 a,b 具有可加性，也就是说，如果把区间 a,b 分成许多部分区间，那么 U 相应地分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之和；(3)部分量 Ui的近似值可表示为 f(i)xi，那么就可考虑用定积分来表达这个量 U.平面图形的面积(1)曲线 y=f(x)与 y=g(x)(f(x)g(x)及 x=a，x=b 围成的平面图形的面积为 A=baf
2、(x)g(x)dx.(2)曲线 x=(y)与 x=(y)(y)(y)及 y=c，y=d 围成的平面图形的面积为 A=dc(y)(y)dy.(3)极坐标曲线 r=r()介于两射线 =，=(0 a 0)，以及 x 轴围成的曲边梯形)绕 x 轴旋转而来，则该旋转体的体积为Vx=baf(x)2dx.如图(b)所示，区域 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为Vy=2baxf(x)dx.例 19.设 f(x)，g(x)在区间 a,b 上连续，且 g(x)f(x)m(m 为常数)，由曲线 y=g(x)，y=f(x)，x=a 及 x=b 所围平面图形绕直线 y=m 旋转而成的旋转体体积为()(A)ba2m f
3、(x)+g(x)f(x)g(x)dx.(B)ba2m f(x)g(x)f(x)g(x)dx.(C)bam f(x)+g(x)f(x)g(x)dx.(D)bam f(x)g(x)f(x)g(x)dx.旋转体的侧面积用元素法计算由连续曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的侧面积，如图(a)所示，其面积元素为dA=2f(x)ds=2f(x)1+f(x)2dx,从而其侧面积为A=badA=2baf(x)1+f(x)2dx.如图(b)所示，同理可得 A=2ba(y)1+(y)2dy.x=(y)y=f(x)(a)(b).例 20.设有曲线 y
4、=x 1，过原点作其切线，求由此曲线、切线及 x轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.平行截面面积为已知的立体的体积如图建立坐标系，点 x 处的截面面积为 S(x)，立体的两底面对应的坐标分别为 a，b，则立体的体积为 V=baS(x)dx.yxOabxS(x)常见平面曲线.例 21.设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角(0 2)的平面截此柱体，得一楔形体(如图)，求此楔形体的体积 V.定积分的物理应用.例 22.一圆柱形的贮水桶高为 5m，底面圆半径为 3m，桶内盛满了水.试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？.例 23.一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水.设桶的底半径为 R，水的密度为，计算桶的一个端面上所受的压力.例 24.用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击打第一次时，将铁钉击入木板 1cm.如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入木板多少？.?见讲义第五节同步习题.
