1、.第三节线性微分方程的解的结构若函数 y1(x)和 y2(x)是二阶齐次线性方程y+p(x)y+q(x)y=0 的两个解，则 y=C1y1(x)+C2y2(x)也是该方程的解，其中 C1，C2是任意常数.若函数 y1(x)和 y2(x)是二阶齐次线性方程y+p(x)y+q(x)y=0 的两个线性无关的解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)是该方程的通解，其中 C1，C2是任意常数.设 y(x)是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的一个特解.Y(x)是与其对应的齐次方程的通解，则y=Y(x)+y(x)是二阶非齐次线性方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解.若函数
2、y1(x)，y2(x)均为二阶非齐次线性微分方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，则 y1(x)y2(x)为y+p(x)y+q(x)y=0 的解.例 9.已知 y1=e3xxe2x，y2=exxe2x，y3=xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足条件 y|x=0=0，y|x=0=1 的解为 y=.线性微分方程的解的叠加原理若非齐次线性微分方程形如y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(x),而 y1(x)与 y2(x)分别是方程 y+p(x)y+q(x)y=f1(x)和方程 y+p(x)y+q(x)y=f2(x)的特解，则 y1(x)+y2(x)也是方程 y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(x)的特解.例 10.微分方程 y 4y+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为y=()(A)Ae2x+e2x(B cos2x+C sin2x).(B)Axe2x+e2x(B cos2x+C sin2x).(C)Ae2x+xe2x(B cos2x+C sin2x).(D)Axe2x+xe2x(B cos2x+C sin2x).?见讲义第三节同步习题.
