1、.第五节差分方程差分设函数 y=f(x)，记为 yx.当 x 取遍非负整数时函数值可以排列成一个数列：y0,y1,yx,则差 yx+1 yx称为函数 yx的差分，也称为一阶差分，记为 yx，即yx=yx+1 yx.(yx)=yx+1 yx=(yx+2 yx+1)(yx+1 yx)=yx+2 2yx+1+yx,记为 2yx，即 2yx=(yx)=yx+22yx+1+yx，称为函数 yx的二阶差分.差分方程的定义.1含有自变量 x 和两个或两个以上的 yx，yx+1，的函数方程，称为差分方程.方程中未知函数附标的最大值与最小值的差数称为差分方程的阶.n 阶差分方程的一般形式为 F(x,yx,yx+
2、1,yx+n)=0.其中，F(x,yx,yx+1,yx+n)是 x，yx，yx+1，yx+n的已知函数.2含有自变量 x，未知函数 yx，以及 yx的差分 yx，2yx，的函数方程，称为差分方程.方程中未知函数差分的最高阶数，称为差分方程的阶.n 阶差分方程的一般形式为 F(x,yx,yx,nyx)=0.其中，F(x,yx,yx,nyx)是 x，yx，yx，nyx的已知函数，且至少 nyx要在方程中出现.一阶常系数线性差分方程形如 yx+1 ayx=f(x)(a 为非零常数)的方程称为一阶常系数线性差分方程，其中 f(x)为已知函数，yx为未知函数.当 f(x)=0 时，该方程为非齐次方程；当
3、 f(x)=0 时，该方程为齐次方程.一阶常系数线性差分方程的解法1 利用迭代法解出齐次差分方程 yx+1 ayx=0 的通解.yx=y0ax为该齐次差分方程的解，其中 y0是初值.在初值未知的情况下，可设 yx=Cax，其中 C 为任意常数.2 利用待定系数法求出原方程的一个特解.设一个与 f(x)形式相同但含有待定系数的函数 yx作为特解，代入原方程后求待定系数以确定所求特解 yx.3 原方程的通解为 yx=yx+yx.利用待定系数法求非齐次线性差分方程 yx+1 ayx=f(x)的特解f(x)的形式a特解形式 yxca=1yx=ka=1yx=kxcbxb=ayx=kbxb=ayx=kxbxcxna=1yx=B0+B1x+Bnxna=1yx=x(B0+B1x+Bnxn).例 15.差分方程 2yx yx=5 的通解为.?见讲义第五节同步习题.
