1、解：本题是质点的约束运动问题，属动力学的逆问题。已知质点运动轨迹，故采用自然坐标法较简便。如图1.21，质点运动微分方程为例、质点的的束运动N-mcme0一质量为m的小环，套在一条光滑的钢索上，钢蜜的方程为x2=2ydv图1,21,试求小环自，=口处自由滑至抛物线顶点的速度及小环在此时所受的约束-mg sin ods反力。mvdy=mgds sin o=-mgdy咖=-上gv=ga第二章拉格朗日方程一、约束的类别与广义坐标1、约束的类别合”()稳定约束与不稳定约束：由几何约束方程中是否显含时间而定。不含的为稳定约束，含的为不稳定约束。(2)可解约束与不可解约束：由约束方程能否用等式就足以表示N
2、-mg+mgo2mg而定。除等式外还需要用不等式来表示的是可解约束，用等式就足以表示的是不可解约束。在项点0处：X=0,0=0,所以(3)几何约束与微分约束：由约束方程中是否含有速度投影面而定N=mg+mg=2mg,凡只含有坐标和时间的是几何的束，而同时含有坐标、时间和速度投影的是微分约束，又叫运动约束，(4)凡只受几何约束的力学体系叫完整系，凡同时受有几何约束与微分约束的力学体系或受有可解约束的力学体系都叫不完整系。2、广义坐标与自由度2、虚功原理：对完整系而言，力学体系由于约束的存在而使独立坐标数()力学体系如受个外力作用而平衡，则对理想、不可解减少。这些独立坐标的数目叫力学体系的自由度。
3、用来表示约束来讲，此个外力所作的虚功之和等于零，即这些独立变量的参数则叫广义坐标。二、虚功原理6m-2元所=0.1、实位移与虚位移三、拉格朗日方程()实位移：质点由于运动实际发生的位移，是由时间发生变化(1)质点的位移月(q,91,9,),(t=1,2,n以而引起的。9,9:9为力学体系的广义坐标，5=3m一k,k=约束方程(2)虚位移：想象中可能发生的位移，决定于质点所在的的个数，3=自由度，位置及加于其上的约束(=0)(2)非保守体系的拉格朗日方程()理想约束：诸约束反力在任意虚位移上所作虚功之和4r-正=g。,a=12)da9g。为零时的约束为理想约束（公。成=0）光滑面，光滑曲线T为体
4、系的动能，肛为广义动量，2，为广义，、光滑铰链、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。可，”4.7Zo可=，天+m,Fx(h低+hg四:,+mxh城-hg四=0a,cosa+a,sinak+Fxhk-higa回）=0=01+0Ra品另解0上=gah可4=2ha,cosai(+成)6=0基点法：C为底面的圆心(E+,)x(h城+)=(,k+c0s时+inx(城+可4=e+E+,x-，Ri+coswhi-g2sinw+,sinR=0e-k+,k产=0y=0-aR+心h=0岛=h.74=2hcosaiR4.9三、刚体运动的微分方程与平衡方程1、刚体运动的微分方程()质心运动定理赋-空酬D(2)对定点或
5、质心的角动量定理是=ai+b饭，元=-ai+bk,=bk亚=2双烟而=a,k+,k=,k+0,cos6既+，sin所d可a=k+a,cosk+0,sin所k(ai+b成(3)动能定理（保守系、机械能守恒）=-(a-:cos0a-ba sin0)j2、刚体的平衡方程立*=02M你=0四、转动惯量五、刚体的平面运动1、圆板的转动惯量(ox轴、oy轴在板面上，oz轴过圆心1k、运动学)刚体可用一截面来代表，且可把运动分解为随基点A的与板面垂直)，1。=2ma.(a为半径)平动加上绕通过A且垂直于固定平面的轴线的定轴转动，(2)速度及加速度2、实心圆柱体对轴线的转动惯量节=亚+商xPe=号mac2、(
6、a为半径)a+曾p-7(3)转动瞬心：在任一瞬时，薄片上速度为零的那一点3、实心长为2a的细棒对中垂线的转动惯量要求：会利用下=可+而严（基点法）求刚体上任一点的速度a-号na24实心球对直径的转动惯量e-号a、o半径)2、动力学4.17(1)质心运动定理T=2x4macs=Fs,maey=F3m161(2)相对质心的角动量定理V=IsinQngI.=Mz(3)保守力作用下的平面运动（机械能守恒）Em/sin Ong=mghaiVee-E日-V3gh-3g1sin日要求：会利用上述定理求平面运动6(0)=3ghv.=01=V3gh例：教材115页例1、118页例3、练习4.17、4.18、4.204.184.20F cosa-f=m-f miaFr+fR=I8FR0=克月=清f=ma1-x-mRB.v=vo-5tma-m(R)民-2 Fcsa-2RF=,+一R=-mm23mR+mrimR2mf=mg.t=Vo7)ugm4.15N1随C的平动与绕C的转动w=T-日2(离开墙壁时，龙。=0)，故克=-051sm8元=021cos0N2妙=-8-6lsin0-0Icos0=022石m诊3sin0=2sinaV=mg5l3in022E=g*s血0+名mg=mgs恤aaresinsina)2=33(sima-sin9,6=-38cos021是=-61sin0-g1cos82
