1、2001年数学（二）真题解析一、填空题（1）【答案】72T【解解】方法一i.丿3 工%/+g limX-*lx2 x 一 21.%/3 x V 1 Flim-x-i(jc+2)(jc 一1)lim-Li(x+2)(丿3 工+丿1+工)2(1 工)x 一 1方法二lim=lim-4-7工*1 x+工一2 工一1+111x2 x 一 22 a/3 x 2 丿+匚（2）【答案】夕=*工+1.【解解】e2x+y cos xy=e 1两边对x求导得严+sin xy 夕+熄)=0,将X=0,y=1代入得字I=2,ckr 丨 z=o则法线方程为夕一1=*（久一0）,即夕=*広+1-(3)【答案】v-O【解解
2、】方法一sin2 x cos2 x dx 2 sin2 x cos2 x dr 4 J。，三=2 I 2 sin2 j;(1 一 sin2 jc)dz=2(12 I4)2”(z3+sin2 jc)cos x dx=方法二(x3+sin2)cos2jc dj?=2 sin2 x cos2 jc dj?J 0丄72 sin2 d(2工)=*sin2x djro2 J 0 o 7 淘宝店铺：光速考研工作室（4）【答案】j/arcsin x=x【解解】方法一丄由 j/arcsin x H 一=19得（jyarcsin x Y=19解得 j/arcsin x=x+C 9J 2因为曲线经过点（j,0），所
3、以C=-y,故所求曲线为jarcsin x=x-.方法二jyarcsin x-=1 化为 y，-y=-,71-x2 Jl/arcsin z arcsln 工f dr _ f 1 丄解得夕=（?e+C）e=（工+c）J arcsin x/arcsin x因为曲线经过点（y,o），所以C=-y,1x 2故所求曲线为丄 arcsin x因为r（A）yr（A）,所以方程组无解;（5）【答案答案】2.a11【解解】由题意得1a1=（a+2）（a 一 1）2=0,解得 a=2,或 a=1,11a/I111 I1111 当a=1时，才=b111003,i112丿o000 当 a=2 时,A=_2111 1-
4、2111-22）因为r（A）=r（A）=2 V 3,所以a=2时方程组有无数个解.二、选择题（6）【答案】（E）.【解】yy（z）=9丨心）丨1,丨心）丨1,而 I/（J7）|1（一工+）,故/（J：）=1,从而 f）=1,应选（E）.（7）【答案】（E）.1 2【解解】（1 cos x）ln（1+z2）x4,x sin 工”xn+i,e 1 j?2,由题意得2 n+l4,解得n=2,应选（E）.8 淘宝店铺：光速考研工作室（8）【答案答案】（C）.【解解】=C；2（工一3）2+2（工一1）2（工一 3）+C；2（工一I）?,令夕=4(3工$12_z+11)=0,得工 16+V336 43工2
5、当工C X 1时当久1 X X 2时j/0,当鼻 工2时j/0,故曲线有两个拐 点，应选（C）.（9）【答案答案】（A）.【解解】由拉格朗日中值定理得/（工）一/（1）=/（）（工一1）,其中e介于1与工之间，当工 6（1-,1）时 HVWV 1,再由 f（x）单调递减得 /（I）=1,于是 yz（$）（1）工一1,即 y（x）1久一1,或 f（兀）工；当工e（1,1十厂 时1 vw 工，再由单调递减得1=y（i）/（）,于是 1）工一1,即/（#）1 V#1,或/（工）工，应选（A）.（10）【答案答案】（D）.【解解】从题设图形可见,在夕轴的左侧，曲线夕=/&）是严格单调增加的，因此当工0
6、 时，一定有于（工）0,对应夕=于（工）的图形必在工轴的上方，由此可排除（A）,（C）；又的图形在y轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理可知，其导函数 y=fx）的图形在y轴右侧一定有两个零点，进一步可排除（E）.应选（D）.三、解答题（11）【解解】djr(2jc 1 2+1)丿兴+1(_ 2 3_(1+j/2)2 4工丿(4jc+1)2Z)=肿一 I=2sec21(2tan2i+1)sec tdtr cos tJ 2sinS+cosL弓豐將=arctan(sin/)+C=arctan.-+C.Jx2+1(12)【解解】f(x)=SinB，nr=lim(1+$1叮一 sm”)t-x sin
7、x/L、sin x/fCx)的间断点为工=kit(k e z),由lim/(j?)=e得工=0为/(j：)的可去间断点；z*0由f(n Q)+,/(7r+0)=0得工=7T为第二类间断点,同理工=kn(k 6 Z且怡H0)为第二类间断点.(13)【解解】“=士，=，2 V jc 4工工4z 9 淘宝店铺：光速考研工作室dp _ dp/dj?ds ds/dr1 3 1 4(4 工+1)2-=6 Jx,丿4无+2 Jx6d2 p d(6/t)/dj?2 x 6&$ds/dx g+1+12 则兽-伴）(4h+l)72一;一 36 无=9.J 4 无+（14）【解解】gCt)dtx2e两边求导，得g_
8、f(j?)/，(jc)=(jc2+2工)9 即)=(e+2)e 9积分得/()=(h+1)+C9由/(O)=0 得 C=1,故/(z)=(z+1)一1.(15)【解解】由 gQ)=2eJ 一厂(2)得 g(H)+g(z)=2eJ,解得 g(工)=C cos x+C2 sin x+er 由 g(0)=2 得 Ci=1；由 g(0)=2 /(0)=2 得 C2=19从而 g(jc)=cos x+sin jr+e*9 于是 fCx)=sin jc cos 无+e,rg(H)1+zg(工)/(j?)_1+乂(1+)2dj：+/(j：)d0土）J 0g&)1,fCx)i+7d+TT7lo_Jg(#)1+
9、Ax_/（7T）_en+1=i+tt=7t+r（16）r解解】（i）丨 op|=好+$2,切线方程为Y y=j/（X乂），令X=0,则切线在y轴上的截距为Y=y xy,由题意得y xy=Jx2+j2，整理得字=2 /1+(),dr jc 戈丿令u=,则+z 学=u /1+z/2，变量分离得 d-=工 山 丿1+/工_ _ 积分得 ln(“+/m2+1)=In C In x,即+a/m2+1=一，x再由-“+vV+1=咅得“=*岸-咅)，或$=*9-青)，因为曲线经过点（*,0），所以C=y,故所求曲线为夕=土一工2.10.淘宝店铺：光速考研工作室(H)曲线汁*在第一象限与两坐标轴所围成的面积为
10、设切点为P1X 22)9切线为y=一 2a(jc 一 a)9令夕=0得z=二+#；令工=0得，=+/oa z 4切线与L及两个坐标轴围成的位于第一象限的面积为4a112 5Sa 4a令s+斜4a2T+fl24a24)=得得古古所求的切线方程为丿(土召)，整理得(17)解解】设/时刻雪堆的半径为r(Z),r(0)=r0,v 2 3 Q 9 2 dV 2 V=nr，o=Z7tr 9-7=Z7ir 3 dt dtdV d 厂由题意得不=TS,整理得不=T,解得)=f+c,由厂(0)=厂 得 C=rQ=kt+r09再由 r(3)=#得怡=，故 r=-t+r0,Z 0 0令r(?)=0得t=6,故雪堆全
11、部融化需要6小时.(18)(I)【解解】/()的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式为/(J?)=/(0)+/(0)工+I；)乂2=/，(0)jf+力2，其中介于0与工之间.(II)【证明】/(j：)=/，(0)j+食,)工2两边在a,a上积分得/(jc)dj-=_1_/7,($)2d:r,J a u J a因为fx)在a,a上连续，所以fx)在a,a上取到最小值m和最大值M,由W*/()広2 C yMjr2 得扌a3 C yj 厂()工dr y-a3,m ra m 3 fa即百3 W/(工)clr W a3 9或 Tzz /(j:)djc M,3 J a 3 a J a11.淘宝店铺：光速考研工
12、作室由介值定理，存在少E a,a,使得/（可）=弓/（工）山，a J a故 a/(”)=3/(jc)dj?.(19)【解解】由 AXA+BXB=AXB+BXA+E 得(A-B)XCA-B)=E,解得 X=(A-B)21,/I 1 1而 A-B=0 1 一 1o 0 1/!-1一1J1(AB)2=01-11 0001丿0I1_ 2-110I1由01-2010-*000100J0-1-1I1-2一11-1=01-201/o01 10012510012|得01001/25X=-012、00J（20）【解解】0,p2，“3，04为AX=0的基础解系的充分必要条件是01,庆，/h，力线性无关,1t0100t0而(01 902 9 03，04)=(。9 U 2 9 Cl 3 9 a A)0t1000t1.故莎，庆，“3心为AX=0的基础解系的充分必要条件是t工士 1.因为a!,a2,3,a4线性无关，所以p,023 为线性无关的充分必要条件是100tt100=1 一H 0 9()t1()00t112淘宝店铺：光速考研工作室
