1、1987年数学(一)真题解析一、填空题(1)【答案】J：y+z=0.Z=1,【解】直线丿y=l+t,的方向向量为=0,1,1,直线耳丄=宁=专的方向向量为S2=、z=2 十 t1,2,1,所求平面的法向量为 n=0,1,1 X 1,2,1=一 1,1,一 1,则所求平面方程为7T：乂 一 y+Z=0.(2)【答案】一匕.In Z【解】由yf=2X(1+jcln 2)=0,得工=丄;In 2当工V 时V 0；当h 时j/0,故当无=7Z时，函数y=x2x取得极小值.In Z In Z In 2【答案】y.【解解】由In x=(e+1)得岀工=e，曲线y=n x与直线y=(e+1)工的交点为(e,
2、l),则所围成的平面图形的面积为A=In xdjr(e-4-1)2 e2 3(e+1=xIn x (e 1)+(e+1)-=.2(4)【答案】一18兀【解解】方法一由格林公式得)2xy 2y)dj：+(x2 4无)dy=JJ(2工一4 2x+2)cLzd;y D=2jdx dy=18tc.d方法二 令L：z 3COS 1(起点 t=0,终点 t=2tt),则 y=3sin tC2xy 2y)dx+x2C2n)dj/=(18sin cos t 6sin Z)(3sin Z)dz+J 0(9cos2Z 12cos t)3cos tdt*2k(54sin2Zcos t+18sinS+27cos3Z
3、36cos2)dz0*2n=18sin2 di 36|cos21dt0=36J sin2zdz 72|cos2zdz0=7212 一 144Q=7212=-18tt.(5)【答案】(1,1,1)令 1 a 1+x2a2【解】+工33=a,11010由1011_ 1011oz o012、f20 1 0-J o 0 10 011，得_ 1向量a在基底ax,a2,a3下的坐标为(1,1,1).J/d.J a+x2 徂=lim-；-=H#3川 3賦-dt二、【解解】由lim。z0 X2+孑d一-x3,从而b 3石=1,再由 lim-x-*o bx sin x故 q=4,6=1.【解解】（2）【解解】3
4、 X1 3 1 兴,_aZ=lim-:-=lim-o J+严 工-o x sin x 昭Xo 1 cos x2=-=,得 a=4,dv警=,薯=g(1+y),故讐薯=g(人+yfy)(1+：y).3 sc由 AB=A+2B 得(A-2E)B=A,解得於=3 2；）一也，1/I0而A-2E=1-10,12z101:10由1_ 1001o卜o12:00J2-1得(A-2E)-i2-2-1001111001_ 1110002_ 1_ 112-1_ 1301-1_ 11102-2_ 11u o01_ 111于是B=2-2-111一 111014045-2-3-22-2-23S=1 两边积分得 yf+&
5、yf+(9+a2)y=无+C,四、【解解】方法一yw+63/+(9+a+63/z+(9+a2)=0 的特征方程为入$+6入+(9+a2)=0,解得入 1,2=一3 土 ai,则方程 yz+6Z+(9+a2)j/=0 的通解为歹=e_3j(C】cos ax+C2sin ax);设 yz+6jz，+(9+a2)j/=x+Co 的特解为 y*=Ah+B，代入得6c于(9+a2)2一 9+故原方程的通解为6y=e_3j(Ci cos ax+C2 sin ax)-r H-二-.9+a2 9+a2(9+a2)2方法二特征方程为 A3+6A2+(9+a2)A=0,解得特征根为 A j=0,A 2=3+ai,
6、A3=3 ai,yw+(9+a2)j/=0 的通解为夕=+e-3j(C2cos ax+C3 sin ax),T 显然原方程有特解$。（工）=-7 9十a故原方程通解为 y=Cx+e_3x(C2cos ax+C3sin ax)+y.9+a五、选择题（1）【答案】（C）.【解解】S（-i）nk-L=%（1）”g+（1）“丄，n=l X n=l 乳 n=l 因为级数（一1）”4绝对收敛，级数工（一1）丄条件收敛，所以原级数条件收敛，应选（C）.”=1 n n=71（2）【答案】（D）.【解解】I=t P f（tx）dx=f（tJC）d（Zx）-=f f（u）du 9J o J 0 J 0显然/与s有
7、关，与t无关，应选（D）（3）【答案】（E）.【解解】由极限的保号性可知，存在d 0,当0 VI Z a|5时,/（：）_ 0,（工a）即/（工）/（a）,故z=a为极大值点，应选（B）.（4）【答案】（C）.【解】由 AA*=AE 得出|A|A=AE=An,1 当工 HO 时，S(z)=/J工”=i由|A|=a 工 0 得|A*|=a4，应选（C）.六、【解】由lim 血=，得幕级数的收敛半径为R=2,00-i 00（_ i n-l当工=2时，级数工;（-2）-1=S-收敛；”=i n2/”=i n 1 1当工=2时，级数工2n_1=发散，故收敛域为2,2)；n=i/”=i n令 SQ)=S
8、|訐1，”=i 咒 2当工=0 时，S(0)=*；I-InJCn工=0,故S（无）=T(i-寺)，2hV2 且 hHO.七、【解】曲面s的方程为S：3/-l=/+（Wy W3）,取外侧，令 So:y=3(j:2+z2 W 2),取右侧，则 s+s s(8j/+1)dj/dz+2(1 y2)dzdjc 4：yzdx dy 9由#J7(8j/+Ddj/dz+2(1 j/2)dz dx iyz da:dy s+s。dv=J djycLzdz=7T(.y l)dj/=2兀 9r+z QTjj j;(8j/+l)dydz+2(1 y2)dzda:4：yzdx dy so1611 dz dr=16 jj
9、2+z20,g(l)=/(l)1 VO9由零点定理,g&)在(o,i)内有零点，即存在工e(0,1),使得gQ)=0,即/(x)=x.g(z)=十(2)1,因为)H I9 所以 g(z)0 或 g(z)V0,即g(H)在0,1上严格单调，故g(H)在(0,1)内零点唯一，即在(0,1)内有且仅有一个工，使得/(JC)=工dzdx=32k,o九、【解】A=111101110、01221012210-1a 3-2b0_ 1a 3-2b321a_ 1.0_ 1-2a 311110、0122100 a-106+1000a 10,当a当a当a工1,61,6=1,方为任意常数时，方程组有唯一解；工一1时，
10、方程组无解；=-1时，方程组有无数个解，将a,6代入后得出，得方程组的通解为j0_ 1_ 1-r012210000000000,X=b、(紅，馬为任意常数).f 1、1、一 r-2+k2-2+1100、0,1,、0 十、填空题(1)【答案】【解】设并次试验中A发生的次数为X,显然XE(n,p),则 PX 1=1-PX=0=1 C%(l p)”=1-(1-pY；PX 1=PX=0+PX=1=C(l 一 pY+Cnp-pyx=(l p)”口+G 1)/c、f53 20【答案】莎元.1-(1-pY,1+(”1)/J(1 p)1.【解】记A,=取的是第i个箱子(i=1,2,3),B=从箱子中取出的是白
11、球，则P(AJ=P(A2)=P(A3)=+，P(B|AQ=f，P(B I A2)=4=，P(B I A3)=3 5 6 Z 8由全概率公式知：P(B)=P(At)P(B|Ai)+P(AP(B|A2)+P(A3)P(B|A3)P(A2|B)=P(A2B)P(B)P(A2)P(B I A2)P(B)2853120_x_3 2 _ 2053=53；120(3)【答案】1,y.【解解】方法一由/Q)=，得X丄e-/+2VTt故 E(X)=1,D(X)=y.方法二f+E(X)=I a:f(x)djr=1 f+_ 21)=J(1+x)ex dx=口+&一 l)e_2 d(z十一、【解】因为随机变量X,Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度为sn心TOVz Vl,y0,其他.则 Fz(z)=P Z z=P 2X+Y z=JJ/(z,y)cLrd；y,2z+y Wz当 nVO 时,F z(n)=0；当 0 WnV2 时，Fz(n)=dr e_3(dy=f2(1 e2xz)dx=-+ez;Jo Jo Jo Z Z Z当 z a 2 时,Fz(z)=故z-2xey dy0fz=(1-严)dr0=1-(e2-l)e_z,0,N V 0,*(1)，0 W z W 2,ye(e2-1),N 2
