1、2012年数学(一)真题解析一一、选择题选择题(1)【答案答案】(C).2 I【解解】由limy=1,得夕=1为曲线夕二耳耳的水平渐近线；HfOO J7 12 I由limy=，得工=1为曲线夕=的铅直渐近线；H-*1 X 1显然工=1不是曲线夕的铅直渐近线，且曲线没有斜渐近线,3C 12 I故曲线)=2 f有两条渐近线，应选(C).X 1方法点评：本题考查曲线的渐近线.渐近线是基础而频繁的考点，需要熟练掌握其求法.曲线的渐近线共有三种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线.若lim f(x)A,则y=A为曲线y )的水平渐近线；工f oo若lim/(x)=，则jc a为曲线y fQx)的铅直渐近
2、线；x*a若 limW=a(H 0,)9)axb 则 y=ax-Vb 为曲线 y=)的斜渐才一*8 JC fOO近线.(2)【答案答案】(A).【解解】方法一由/()=ex(e2x-2)-(eM-/?)+2(ex-l)e2x(e3x-3)-(enx “)-Fn(ex-l)(e2x-2)-(e(n_1)x n+l)e,得/(0)=(-l)-1(n-l)!,应选(A).方法二 由导数的定义，得(0)=lim y)-门)=lim-(e2x 2)(enj:n)-(1)_1(n 1)!,x-*0 x x-*o x应选(A).(3)【答案答案】(B).【解解】方法一 由f工，y)在(0,0)连续及lim存
3、在，得/(0,0)=0.zo x+yyf 0取 y=0,由lim-=lim-存在，得lim-=0,x0 JC x0 X X x-*0 X即 fz(0,0)=0,同理 fy(0,0)=0.由limx-*0N fy(0,0)j/2|2工十夕=limx-*0存在，得fG)21 2oAz ffx（0,0）j;fy（0,0）j/0（/9）,故 yO）在（0,0）处可微，应选（E）.方法二 由lim：巴存在，得/（0,0）=0.x-o X+yyf 0令 p=J x1+，设 Hm=A：则北=/（亢9丿）一/（0,0）=0 x+0 夕+o（p）90 x+yy 0由可微的定义得/（工，夕）在（0,0）处可微，应
4、选（E）.方法三 取/（2,夕）=|工|+|y|,lim 1 订|=1，因为 lim 了）=工一o|x|十|x-o xyf 0lim 不存在，所以/（je,y）在（0,0）处对工不可偏导，由对称性，_/（工,y）在（0,0）处对 0 JCy也不可偏导，于是fCx,y）在（0,0）处不可微,（A）不对；取显然于（工，夕）在（0,0）处可微，因为lim 半）=lim 宀不存在，所以x-0|X I x-o I X Ilim 1不存在，（C）不对；0 I JC 1+|3 IL 0取/（力，夕）=y，因为/（力9y）连续可偏导，所以f G在（O9O）处可微9但lim工0 x+y yf 0 不存在，（D）
5、不对，应选（B）.方法点评：本题考查二元函数可微的判断.判断二元函数fQ,y)在点(工0，歹。)处可微一 般有如下几个方法：(1)若/(z,y)连续可偏导，则在(工。，火)处可微；(2)若 Az=f(.T,y)f(x0,夕0)=ACz j;0)+B(j/0)4-o(J Qx _ je0)2+(3 jo)2)，则f(x,3?)在Czo，夕0)处可微；(3)若fix,y)在(x0,y0)处可偏导，则f x,y)在(x0,j/0)处可微的充分必要条件是f(D)/(工0，夕0)AQojUQ Ho)/；(攵 o，o)(y，o)A11 m r-J -=0,X-*Xq P其中 =xoy+Cyyoy.【答案】
6、(D).C2k 2【解解】由12 11=e sin x dx 匚；J 7t3兀2由 13 12=e sin x dx 0，得/2 0,得八 匚，于是 I2h、001则 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=*-P应选（B）.（7）【答案答案】（A）.01000110100020101Z、0010002【解解】X的密度函数为/x（z）=Y的密度函数为/y（J/）=e0,4严，y 0,0,夕 W 0.因为X,Y独立，所以X,Y的联合密度为JCx 0,0；于是 px y=jj f(x=0,夕 0,其他，o 54严曲=应选（A）.（8）【答案答案】（D）.【解解】方法一 设两段长度分别为X,
7、Y,则X+Y=1或Y=X+1.由 PY=-X+1=1,得处丫=1，应选（D）.方法二方法二设两段长度为X,Y,则X-17（0,1）,且Y=X+1.由 X U(O,1)得 _/x(h)=E(X)=1,0 V E V 1,0,其他.1 1 1x dj：=,E(Y)=E(X+1)=E(X)+1=?o 2/p 1 1E(XY)=EX(X+1)=E(X?)+E(X)=/山 十=J o Z o112?fl 1 1由 E(X2)=川吐=百得 D(X)=E(X2)-(EX)2,J o 3 o 4 1ZD(Y)=D(X+1)=D(X)=点，则 Qxy=_=1,应选(D).12 VD(X)/D7yT方法点评方法点
8、评：本题考查两个随机变量的相关系数相关系数的计算公式为=一cv(.x_，X2，注意以下两个结论：VD(X)VdW)(1)Pxy=1 的充分必要条件为 PY=+6 l(cz VO)；(2)y=l的充分必要条件为PY=aX+b=l(a 0).二二、填空题填空题(9)【答案答案】e【解解】由观察知厂Q)十于(2)=2于的一特解为/Q)=eH,将其代入 fd+/z(j?)2/(j;)0 中满足，故)=ex.(10)答案答案】贪贪2 _j：v2o:一 jr2 dje=o【解解】2 _(jc 一 1)+1 a/1 (jc l)2 d(jc 1)0(工+1)/1 jc 2 dx/1 j?2 dje2z$dz
9、=守.方法点评方法点评：本题考查定积分的计算.当积分表达式中出现根号，且根号内为二次多项式,一般采用配方法，再换元.需要注意如下几个结论：(1)/(x)dx=/(工)+/(乂)dr;(2)含丿/工?的积分，注意使用三角代换x=asin t.特别地，根据定积分的几何意义有Ja-j:2-J o 4(11)答案答案】i+j+k.于是 gradG+三三)|=1,1,1=i+_/+/(;.y/I(2,1,1)(12)【答案答案】愛.愛.【解解】令工：z=1x y(z,，)C D),其中 D=(，夕)|工+了1,2 20,夕0,(13)【答案答案】=7卜2 0(0 1),D2.djrlyV312【解解】方
10、法一取0=0/I 0 0、j/0 0 0,aa T=0 0 0(，由 E aa=|0 1 0o丿o 0 0 丿bo r，得E aa 1的秩为2.方法二 令 A=E aaT,则 AnCEaaJCE aa)=Ead=A.由 ACE A)=O,得 r(A)+r(E A)3.又由 r(A)+r(E-A)r(E)=3,得厂(A)+r(EA)=3.而 r(E A)=r(aa r)=r(a)=1,所以 r(A)=r(E aa T)=2.方法点评：本题考查矩阵的秩.研究由向量乘法形成的矩阵的秩时，通常使用矩阵的幕阵，本题很容易想到计算与A 的关系.另外注意本题E 心 与具体的a无关，可以采用举例法.(14)【
11、答案答案】4.4【解解】因为A,C互不相容，所徨P(ABC)P(AB)-P(ABC)P(AB)3P(AB C)=-=-=-r.p(C)1 P(C)1 P(C)4三、解答题+X JC 2(15)【证明】方法一 令/(2)=2111-cos x 1,1 x zf(a:)=In1+工 I 2x1一工十I/sm xJC严 Q)=注士1 COSH.4 当一 1 V工 0.(1 H)又因为/(0)=0,所以y严).-X 0,0 1,+JC H 2小值点，而/(0)=0,故当一1 工 2 0(0 jc 0,1+T T2故当1 0且A 0且A0得(一1,0)为f(x,y)的极小值点，极小值为/(1,0)=e(
12、17)【解解】由limlLl,得级数的收敛半径为R=1.4/7 2 I 4-71 I 3当攵=1时，由lim(土 I)?工0,得工=土1时级数发散，故幕级数的收敛-*乙 n 十 1域为(一1,1)1+j：而 2(2九+1)2%=(2x 2n+1)z=(1 X(1 Vz V 1),当 0|工|1 时，S1(H)Z=0 9于是S(z)=3,1+乂(1 x-In t，0|O9所以/Z(Z)=sec t cos t，cos t于是 fCt)=ln(sec t+tan t)sin f+C 9再由 f(0)=0 得 C=0,故/(t)=ln(sec t+tan Z)sin t.由/(0)=0,lim/(t
13、)=+oo得曲线L及龙轴及夕轴围成的无界区域的面积为 一守A=ydx=2 cos t 厂(t)d=J 0 J 02 sinSd/=-7-.0 4补充L。：工=0(起点y=2,终点y=0),记L与L。围成的区域为D,由格林公式(19)【解解】得(20)【解解】I=Q)2 y cLz+(z3+z 2j/)dj/32 j/dx+(z3+x 2y)dyJ L+L J Lq=JJ(等 _ If)亦；_ 2牺=jK dp =守一4.D D(I)由行列式按行或列展开的性质得|A|=1 X A h+a A a Mn aMa=1 一 a4.(n)若AX=P有无数个解，则|A 1=0,即a=l或Q=l.当 a 1
14、,(A 丨0)=,1-1001100-10 01_ 10-1010-1-100110001-10-1001000000.因为r(A)-r(A)=3 4,所以方程组AX=0有无数个解，通解为当 a=1 时,.(A P)=100.1因为r(A)工r(A),所以方程组AX=0无解.方法点评：行列式虽然不是考查的重点内容，但有几种特殊行列式需要熟练掌握其计算 方法：(1)三对角行列式，如本题矩阵对应的行列式，这种行列式的计算一般采用行列式按行或 列的方法展开计算或找递推关系.（2）对称矩阵对应的行列式，一般采用所有行加到第一行，提取公因子，再将行列式上（下）三角化计算.非齐次线性方程组解的讨论，首先运
15、用方程组解的理论确定解的存在性，然后利用初等行 变换求方程组通解，这个方法一定要反复练习，熟能生巧.(21)【解解】(I)A=1 0 11 0 10 1 10 1 1-1 0 a0 0 a+1.0 a 1,、0 0 一 1 一 a,022(H)当2=1 时,Al A 由 r(ATA)=2 及 r(ATA)=r(A)得 a=1.J02由|AE-AtA|=0A 2-2-2-2A-4=入（入一2）（入-6）=0,得AL1的特征值为A 20-2A =0 9 入 2 二3 2 9 入 3 6.当Ai=0时，由（0E-AtA）X=0即0得入1=0对应的特征向量为gi当入2=2时，由（2E-AtA）X=0得
16、入2=2对应的特征向量为2=当A3=6时，由（6E-AtA）X=0得心=6对应的特征向量为30L 1-1 1t 1_ 1 012=厉1单位化得人112令0=，在正交变换X=QY下，二次型f的标准形为0f=2yl+6式.方法点评：本题综合考查了矩阵的性质、特征值与特征向量理论、正交变换法化二次型为 标准形等重要知识点，综合性高、覆盖面广，且涉及的都是线性代数的重点内容，需要熟练掌握 所涉及知识的理论体系的方法体系.在解读条件r(ArA)=2时，一般做法是，先进行矩阵的乘法，再阶梯化，根据矩阵的秩求 出a,但这样做比较费时，如果想到性质r(ATA)=r(A),则本题运算量会大幅下降，所以熟练 掌握
17、线性代数有关方法对解题非常重要.(22)【解解】(I)PX=2Y=PX=0,Y=0+P X=2,Y=1=#(D)由(X,Y)的联合分布律得X,Y,XY的分布律为/1212/14X114,Y114,XY7116/、33 12129 9 2于是 E(X)=y,E(y)=1,E(Y2)=,D(Y)=E(Y2)-：E(Y)J=,E(XY)=y,Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0,2故 Cov(X Y,Y)=Cov(X,Y)-D(Y)-y.(23)【解】(I)因为X,Y相互独立，所以Z=X-Y服从正态分布.因为 E(Z)=E(X)E(Y)=0,D(Z)=D(X)+D(Y)=3r2,所以 Z N(0,3a2),故Z的密度为(z)=-e 6a(00 V z V+).丿6兀a(U)似然函数为 L=_/(G)y(Z2)f(S)=(62),取对数得 In L=善In 6k cr2 二 乂,/6(7 =由為讥一冷+占孚 n，得八补呂/故川的最大似然估计量为5 2=1(皿)因为 E(&2)=_e)=e(Z2)=D(Z)+(E(Z)2=2,3n r=i 3 3所以产是川的无偏估计量
