1、2014年数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】(A)【解】由 lima”=a 得lim|a”|=|a|,jl OO Ji oo取航=屮，总存在N0,当”N时，I丨a”I 丨a|,从而再丄(re)一 tan x=0 得 a=0；x-*0p Joe)一 tan x=bx ex2 dx3 一 tan x 9由im 小)tan=。得：_】=,即 5=1；Zf 0 x丄 1p(h)tan x 1.(z tan 工)+cz+dx3 小丿口 小由 lim-=lim-=0 得 c=0；x-*o X X-*O JT亠 pCz)tan x Cztan jc)+dx3.1一 sec2jc.-_ 1 丿曰 丁
2、1pq lim 2 lim 2 lim i d d 0 彳寸 d ，z0 x h-*o x lo 3 3应选(D).(4)【答案】(D).【解】方法一 令(p(jc)/(j?)/(0)(la-)/(l)j;且爭Q)=/(z),当 f Joe)$0 时,p工)=f G)$0,曲线 y=9(_z)为凹函数，因为卩(0)=0,申=0,所以当z 6 0,1时，爭(z)0,即/(j?)Wg(z),应选(D).方法二 当0时,y=/(a：)为凹函数，因为y=g&)在0,1上为连接A(O,f(O)与B(l,/(1)的线段,所以 f()WgQ),应选(D).方法点评：本题考查函数大小比较.利用凹凸性证明不等式
3、是不等式证明的重要方法，设函数f(O-)在q,6上二阶可导，且/(工)$0(0),若=f(b)=0,则当C 时，/(広)0($0).(5)【答案】(B).【解】0 a b a 0 0 Q c d c 0 00b0da Q ba Q ba0 d Q+b0 c 0c 0 dc 0 d=一 ad ad 一 be)+be(ad be)=一a2d2+2ahcd 一 h2c2 一(ad 一 be)2,应选(E).(6)【答案】(A).【解】若a i,a2,a3线性无关,I1 由(ax+a3,a2+Za3)=(a1,a23)0 1I/I 0 因为(a1,a2,a3)可逆，所以a,+ka3,a2+la 3的秩
4、与矩阵0 1的秩相等，因为L lI1 I1 0 1两列不成比例，所以r 0 1=2,故a】+也，。2+皿 线性无关.b J b J反之，若a+ka3,2+Za3线性无关，a】,a2.3不一定线性无关，如5,a2线性无关,ch=0,显然5+ka3,a2+加线性无关，但5,a2 a3线性相关，应选(A).(7)【答案】(B).【解】由P(B)=0.5,得P(巨)=0.5,由相互独立及减法公式得P(A-B)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5P(A)=0.3,则 P(A)=0.6，从而 P(A)=0.4,于是 P(B-A)=P(AB)=P(A)P(B)=0.4X0.5=0.2,应选(E).(8)【
5、答案】(C).x x【解】由X1X2N(0,2a2)得-N(0,1),屁x x2由 X 3 N(0y2)得一-N(0 9 1)9 从而一7X 2(1)9 o a由详謬独立得X】一X2X 一 X(1),即-”1),应选(C).V2|X3 丨二、填空题(9)【答案】20-Q.【解】收益函数为R(Q)=/Q=Q(20孕)该商品的边际收益为R Q)=20 Q=20QQ2T(11)【答案】(10)【答案】今-In 2.【解】方法一 A方法二A=4，dr=-In 2.J y Z2-)dj?+x 3(2+z)clz=-In 2.2 2*-i二(10)题图丄由 J z dr=+【解】2a 1 10=R2a1)
6、/+1=&得2=丄e1(12)【答案】宁【解】dj?=、2,(1 y)ey dy=1 _ e 10 2&0&01 2,J dj?y1/eJ dro-+1 2dp0(13)答案】-2,2.I1【解】A=0-1J 22，IA|=J因为A的负惯性指数为1,所以|A|0.由|A|V0 得一2VaV2 若|A|=0 得 a=一2 或 a=2，当 a=2 时，由|AE-A|=0 得 AT=-3,A2=0,A3 当q=2时，由I入E A A I=0得入1=一 3 9入2=0,入3=a2 4.=3,负惯性指数为1;3，负惯性指数为1，故一2a2.2(14)【答案】0779【解】E（X2）=29X 30dz由E
7、（cfxQ=竽旷i=l/三、解答题（15）【解】方法一厂（e（一 1）一 tdtd2得c25 77limjc 2 ln(1+=lim工+8_t2(ez 1)x1xln(1+I方法二limx-H-oox(e1 1)ix2（16）【解】于是/方法二因为20=limZ-H-8x _t2(ez 一 1)一 tck=lim jc 2(eJ 一 1)一 x 工 f+oolim x21e7-11Xi e 1tlim/f 020lim2tIjt2(ez 1)_1_lim jc2(ex 1)x=limlim x2x2-+A+X一 x方法一由对称性得j/sin(7t vx 2+y2)x sin(7C JX1+夕2
8、)d d _jjDj/sin(7r Jx2 y2),dxdy2+夕DZ sin(7t a/z 2)d d+JfDsin(7r JX2 y2)dj?dy=*DD丄I丄4tcJ k+ydr dy，+y+y2 Ado2.1 rsin Trrdr=.1 4兀J i2Tcrsin 7rrd(7tr)2tt Y sin tdt=|4?cJ n2兀Zd(cos t)=一-cos t4兀x sin(7r vx2+y2)ckz dy=Dcos 9+y.d0=sin 9+cos 070sin 92x IK 4兀 J XCOS 0 刖o sin 9+cos 9sin 0+cos 严*27t 3cos tdt=-42
9、rsin 7rrdr，所以cos 6 _ 1 fi sin 0+cos 60 sin 9+cos 0 2.cos 9 c=0 sin 6+cos 9 4又因为1 7t2it Zsin tdt=-2n 7T2nd(cos t)所以/=D方法三因为201-tCOS t7T2tc+T 7C TC-2x 3cos tdt=-k 7Tjc sin(7t 2 y2),3dj?dy=z+夕x sin(7t 2+y1)1 aj?ay 2cos 9Dcos 9Z+，0sin 6+cos 9ddrsin Ttrdr 9sin 9+cos d=rJ 01+tan 严tan 6=t牛8 0 1+o1 t-1i+z2d
10、t12 1rsin rcrdr=7t2因为=*ln(l+/)-ln(l+厂)+arctan t2 yr+F2k tsin tdt=-2k 7T方法四所以+夕7x+y0o01十arctan t2-ktd(cos t)+807t7in(7r Jx2 y2)】3ax ay=-4JC Sin(7t J+)2)dx dy=J 0cos 9sin 9+cos 0A9=麗70cos7)rsin 7trdr=丄歹1 7T 2n1-t cos7TI 兀 TC-2n 3cos tdt=-7t 兀cos 6sin 9+cos 9 rsin Ttrdr 97tsin(0+于)丄 Iocos(e+于)+sin0+于)s
11、in(0+丄=0丄 I700+In sinl(9+1+cot I 9+2 7C0=7ddZsin tdt=-y7t2kZd(cos t)=+w7T I 兀 7T-加,3cos tdt=-k 7T2所以/=x sin(7r a/z 2+y2)dr dy3 z+yD方法五Djc sin(7r Jx2 y2+y-dj：djy=$J ocos 9sin 9+cos 9因为7ocos 0sin 9+cos 9d0=+rJ 0cos 9+sin 0 fi cos 0 sin dsin 0+cos 9 J o sin 9+cos 0=4(守+ln|sm&+cos0|)I；=讣,f2 1戸.1严j rsin
12、7rrdr=J sin tdt=-J zd(cos t)一鼻。sf+叮灿一2,7T 丨*7T J tt 7T所以TDx sin(7r Jx2+y2)-dx dy=一3 z(17)【解】=ecosy oxex sin y 贝Icos y -sin y =(4n+eT cos y)ex 化为 cos 3/)=4z+ex cos y 9ox dy令u=e cos艸则厂(况)4/(zz)=u 9解得/(“)=(“严血+C)eM=_ 手 _ 百，由/(0)=0,解得 c=岂,故 f(u)=Ae4u VM-A-方法点评：偏导数与微分方程结合问题是一种综合和重要的题型，首先按题目要求计 算出相应的偏导数，根
13、据给定的等量关系式将偏导数代入等式中，整理得微分方程.再根据 微分方程的类型对微分方程求解.(18)【解】由lim I=1得幕级数的收敛半径为R=l.I 5 I当 x=+1 时 9 因为(兀+l)(rz+3)-工 0(7?f)9 所以当工=士1时，幕级数发散，故幕级数的收敛域为(一1,1).令 S(工)=工(Z2+1)(/2+3)工，则n=0S(z)=丫(2+4+3)工=A(+l)(n+2)+(n+l)zn=Q n=000 00 00 00=工(“+1)5+2)_z+(+1)工=(工工+2)+(Y_z+J n=0 n=0 n 0 n=0(19)【证明】(I)方法一 因为0 Wg(z)W19所以
14、 f Odz g(t)dt Ids 即 g(t)dt j:a G a.J a J a v a Ja方法二 令卩(h)=_zq|g(t)dt,因为(h)=1 gQ)NO,所以卩(7)在a,b上单调增加又因为甲(a)=0,所以当工G a,b时，爭(工)$0,即g(/)d/za,因为 g()N0,所以(g(/)d/$O,故当工 G a,6时，0w g(t)ckWza.J a J a方法三 由积分中值定理得g(t)ck=g(W)(za),gWa,z,J a因为 0 Wg(z)l,所以当 z C _a,b 时，0 wj g(/)dt Wz a.方法四 因为g&)在0,1上连续，所以g Q)在0,1上取到
15、最小值加 因为 0 Wg(H)W 1,所以 0 积分得和最大值M,0 W m(cc a)g(/)d/WM(_z a)Wx a.f(“)g(“)d ttdt/(u)du,(U)卩(工)=因为/(j:)(re)在_a,b上连续，所以卩(工)在a,b上可导，且爭(夂)=y(z)g(鼻)一 g(z|a+g(Z)d/,因为g(CcUWHa且于(工)单调增加,所以fa+g(t)(k|W 7a+(工 一 a)=/(2),从而(px/(j:)g(jr)g(j;)/(a:)=O,jc G a,b,0(a)=O,、Lr、.得申(工)$0(工02,刃)，cp(j：)N 0(a W hb g(t)dt由从而(p(b)
16、M 0，故/(+=力9313矗 3+1012,.1、0&3.+6一i+22紅一13k j 一 1_ k22b 2 33k 2 4 kzk3-l2孔+13k 3+1 b 3(ki,k2 jk3为任意常数).方法点评：求未知矩阵一般有如下三种情形：(1)矩阵方程经过化简得AXAX =B=B或XA=B,其中A可逆，则X X =A=A B B或X=BA 1;(2)矩阵方程经过化简得AX=B,AX=B,其中A不可逆或A不是方阵，则一般将AX=BAX=B拆成 几个方程组，求每个方程组的通解，将通解合成矩阵X；(3)矩阵对角化法设A的特征值为入1,入2，入”，其对应的线性无关的特征向量为a i皿2,，a”，
17、右 0 0 1 0 A 2 0),P 可逆，且 PAPPAP =.:,:,、0 0 入”，QP P C(xC(x i*ct 29*0于是A=P=P110入200入”1 1 1 0 01(21)【证明】令71=1 1-1,B,B =0 021 1 1丿.0 0由|AE-A-A|=0得A的特征值为入1=入”_1=0 9入”=n由|AE-B 1-0得B的特征值为入=入”_1=0 9入=n.因为at=a,所以a可对角化；因为r(OE-B)=r(B)=1,所以B B可对角化，因为特征值相同且都可对角化，所以A B.方法点评：本题考查矩阵相似.设为两个72阶矩阵，若AB.则A,B的特征值相同；反之，若A.
18、B的特征值相同，两矩阵不一定相似，即特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件.注意如下结论：(1)若特征值相同，且A,B都可相似对角化，则AB；(2)若特征值相同，但A,B中一个可相似对角化，另一个不可相似对角化，则两矩 阵一定不相似.(22)【解】(I)FY(y)=PY y=PX=1PY y|X=1+PX=2PY)=0；当01时,F心)=*宇+*汁罟；当 lyV2 时,Fy()=*+*y=y+y;当夕$2 时,Fy(j/)=1,故随机变量Y的分布函数为Fy(y)=20,3T夕V0,0G 1,f+7,1,7(D)随机变量Y的密度函数为fYCy)=K7IS V2,ly 2,夕$2.0 3/1,
19、其他.10,2 3,3 3:得3 3 2 2 2 E(X)=y,E(X2)=y,D(X)=E(X2)-EE(X)2=-/0 1 贝E(Y)=dj?+(23)【解】(I)由X同理由y2 2，得 E(Y)D(y)=丄 Z 亍T由PXY4f(xy)-=_=丄得 e(XY)JD(X)7D(y)2 995 故 PX=l,Y=l=g,2 1 由 PX=1,Y=O+PX=1,Y=1 得 PX=1,Y=O=g,1 2 由 PX=0,Y=0+PX=1,Y=0=得 PX=O,Y=O=g,2 1 由 PX=O,Y=1+PX=1,Y=1=得 PX=O,Y=1=g,故(X,Y)的联合分布律为XYP.01211o993152199312p.,1335 4(U)PX+Yl=l PX=l,Y=l=l g=百.
