1、2020年数学（一）真题解析一一、填空题填空题（1）【答案答案】（D）.【解解】当工一0+时,工 2(e 一一 1)ckoln(1+)ck ot 2dt=-yJ?3；0 ox 1 9 At 2 dt=X 2;o 5t2dt=-yJC3；o oV2 5sin jcsino1COS X _vsin3 t Ato应选（D）.方法点评：确定变积分限型无穷小的阶数时，通常有如下方法:（1）洛必达法则，如：【例例 1】设/(z)连续，且/(0)=(b厂(0)=4,且 tfCxt)dt kxn(j?0),求怡皿J 0【解解】x X t=utfjc r)dr.=0*0(x u)f(u)(du)=x/(u)du
2、 0uf(u)du90tf(x t)dt 0_x11得/?2=1，即 77=3，由limr-*0 x lim-Zf 0/(u)dw 0uf(u)du-=limx-*0/(u)dw o_n1 nxlo n(n)工”2由limx-*0tf(2）,ox dy故Hm 虽_込存在，应选（A）.SIOQ J芒+寸（4）【答案答案】（A）.【解解】因为幕级数工a”_z的收敛半径为R,所以当x O,Lo在L内，逆时针），且设L与L；所围成的区域为Dy,L0围 成的区域为D2,由,Pd_z 十 Qdy=11 Oclz djy=0 得L+L JJ D1r f 4z y 工+y（17）【解解】由由（九+l）a”+】
3、-7牡+L0 4工十)(4工夕)dr+(尤+)djy=三 L r D.(m得千e4无2+j/2 2 rcLrd3/=pX7cXXE-=7t 2从而lijn仝二=1,即幕级数工的收敛半径为R=l,故当&|”工收敛.n=1=1+jcnanxn=1+xSjc)+*S(工)9即 SQ)-12(1 工)解得S(x)1吕+万”=1由 S(0)=0 得 C=2,故 S(e)=一 2.a/1 x(18)【解】因为丫的法向量为(无9夕9一之)9所以J=；(力$+y2 J)+2jc 2+2y2 dS也丿2&2+/)14(19)【证明】(I)令 M=max|/(j?)|/(c)|,其中 c G 0,2,tG0,2由
4、拉格朗日中值定理，存在&6(0,c),$2 e(c,2),使得y(c)-/(o)=/,(e1)c,/(2)-/(c)=/苛2)(2 c),则/(&)I c M,|/z(?2)I(2 c)=M,当 C 6(0,1 时，由|/()上=M 得 IM,取=&；当 c 6 1,2)时，2 c C(0,1,由|y(&)丨(2 c)=M 得|y(W2)|MM,取=&则存在 W 6(0,2),使|y(w)|$M.(II)(反证法)不妨设M 0,则c 6(0,2),当c工1时，由拉格朗日中值定理，存在 W1 e(0,c),$2 6(c,2),使得/(c)=/(c)/(0)=/，($i)c,其中 OVi c,-f
5、Cc)=f(2)-/(c)=F($2)(2 c),其中 c e2 2,则皿=|/(c)|=|/(e1)|cMc,M=|/(c)|=|/(e2)|(2-c)M(2-c)皆成立,若 OVc V 1,显然 M=|/(c)|=|/(&)|c 冬 Me 不对；若 1 c V 2,显然 M=|/(c)|=|/(e2)|(2-c)A 1 2|AE A|=A(A 5)=0,2 A-4解得A的特征值为入i=0,入2=5;令 B=(彳)，丫=D，则 g 刃)=0Y；2 h y2/ftr A=tr B,(a+6=5,.因为A，所以J.BP 解得a=4,6=1.I A|=I B|,ab=4,(U)由 0EA=(1 2
6、 2)得 2 4丿 0 0 矩阵A的属于入i=0的特征向量ar=Q;1打得0 0/2142矩阵A的属于;(2=5的特征向量a 2，则 QAQ,-1),2/)；0 5/1/2 _ 1-4-22 1寸得0 矩阵B的属于入1=0的特征向量01=-12由 5E-B=得(1-2打1(一 24丿00丿20 00 5/矩阵氏的属于入2=5的特征向量02=1/-I 2京2 1由 Q；AQi=QjBQ2 B=Q2QlAQtQl，2-1 11 2丿厉，贝 贝U Qbq2=所求的正交矩阵为Q=Q,Q2厂12)_ 1厂4 25(34/由 0 E B=令=109（21）r解解】（i）方法一（反证法）设P不可逆，则a,A
7、a线性相关，即a,Aa成比例，于是 a=kAa 或 Aa=la,因为a不是A的特征向量，所以Aa=la不可能；若a=kAa.因为a为非零向量，所以k工0,于是Aa=a，矛盾，k故a,Aa线性无关，即P可逆.方法二（反证法）设P不可逆，即a,Aa线性相关，则存在不全为零的常数k.,k2,使得k a k 2 A a 0 9 显然怡2工0,因为若k2=0,则Qa=（）,由a工（）得kx=0,矛盾，故匕工0.k由紅。+k2Aa=0得Aa=a，矛盾，故P可逆.b 2（H）由 AP A（a,Aa）=（Aa,ALa）=（Aa.6a Aa）=P（）得4-Vi/6 卩AP#】J./0 6 ,设B=（J,则AA
8、一 6由|AE-B=（A+3）（A-2）=0.-1 1+A得儿=3,入2=2,因为4工入2,所以B可以相似对角化，则A也可以相似对角化.（22）【解解】（I）二维随机变量（Xi,Y）的分布函数为F（z,j/）=PXi=*PX|KS I X3=O+yPX1 丨 X3=l=*PX|W_z,X2=yPX1 PX2 3.+yPX1,X1 3；,当x 3/时，同理可得F（JC 9夕）=+（2）0（j/）+（夕）9f 1、/、I 10（jr）+,x z=l-PT s+/T s=PT s,T 5+HPT sPT s+tPTsl-PTs+t e 5 丿(f)m-(T)M=-=-=e1-PT 0,其他.L()=y()/G2)./an)=mn9mnCtxt2-tr1e i=1，其中门 0,i2 00,n”In L(0)=n In m 一 mn In 9+(m 一 1)In 匚一d,r,，i=1 i=1令L(0)=讐+加厂“+疔=0得dt7 C7,1故9的最大似然估计值为9=
