1、第2 0 卷 第5 期 工 程 数 学 学 报。年。月 J OURN AL O F E NGI N E ER I NG MAT HE MAT I C S V0 1 2 0 No 5 Ma r 2 0 0 3 文 章 编 号：1 0 0 5。3 0 8 5(2 0 0 3)0 5。0 0 7 1。0 3 关于“车灯线光源的优化设计 问题的光学思路 唐武(上海市激光技术研究所，上海 2 0 0 2 3 3)摘要：本文运 用光 源 的朗 白定 律、光线 反射定 律 的向量方 程、NN N NN心 光束 等光 学 方 法，并 且对 近 似平 行光 束进 行象散 光束 分析，讨论 了车 灯线 光源 的优
2、化设 计问题 的解题 思路。关键 词：线 光源；抛物 面 反射镜 分类 号：AM S(2 0 0 0)4 9 K 3 5；7 8 A 5 5 中图分类号：0 2 2 4；0 2 9；T M9 2 3 0 2 文献标 识码：A 本题是一个光 学问题，宜用光学 的思路来做。题 目如 图 1所示，OQ是 抛物面反射 镜，且 为镜面反射，P R是在焦点 F上 的线光源，A B C是 测量照度的屏，要 求在满足所 给的条件 下计 算 出线光源长度 和屏 上的照度分布，并 进行相关讨论。问题 中的光线传播 可用 图 1属于几何 光学的光 线传 播理论来讨论；屏 上的照 度 可用 图 2属 于光度 学的光
3、束 来讨论；最后综合 出答 案。光 源沿 某 个 方 向上 的发 光 强 度 除 以其 垂 直 方 向上 的 面积称为光亮度，本 题 的线光 源上各 点 的同方 向上 的光 亮度都假定相 同。题 目中的线光 源应该 和其 他光 源一样 的是漫射发光 面(或线)，那 么它应遵循朗 白定律(也称 朗 伯定律)，即它 的发光强度，与其方位角 的余 弦成正 比，=I o C O S ，如 设 c u=r r 2一 ，贝 0，=，n s i n c u，c u是 P 尺 A n r、_ p R 0 图 1 反 射路 线 与 P Q的夹角。电灯的钨丝、日光灯、太 阳等发 出的光线都符合 朗 白定律，所 以
4、不管从 什么角 度看起来亮度都 均匀相 同。如果把它们看成是 由一个个点光源 串成 的一条直线，且 发 光 强度 各个角度都相 同，那 么，例如，在斜看 日光灯时，眼睛看 上去的灯管长度就要 比正面看时短一 些，为 c o s 倍；而如果所有 发光点进到眼睛里的光和正面看时一样 的多，结果就 比正面看时 要亮，为 1 c o s 倍，而太 阳这个 光球看起来 也会边上 比中间亮得 多，这些 都是不 符合实 际 的。因此本题屏 ANN度公式应该都 乘上 s i n c u。另 一方 面，经过理想化 处理 以后 的问题总是 与实际情况会有不少 的出入，光 学、实际灯管、加 工装 配误差 等都使其偏
5、离理 想情形。而本题 主要是 数学讨论，所 以 P 线 光源最好假定为实际生活 中不存在 的透 明光源，如果线 光源挡 光 了，在 图 1 上的 日和 c点就会正好是处于整个屏 面上照度 突然小很 多的一段线上，使本 题 维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576577 2 工 程 数 学 学 报 第 2 0 卷 要求的线光源长度与屏 上 的照度分 布的关 系有影 响，不利于较好 的数 学讨论。P点 向 Q点发射 的光束称 同心光束，它遵循平方反 比
6、定律，即点光源关 于垂 直照射 面上 的照度与到该 面的距 离平方成反 比。因此本 题屏 上 的照度公 式 上应该 乘 以(P Q)，它 的反 射 光在反 射点 Q附近照度也 应与此相 同(见 图 2)。C 在反 射 点 Q 处用 几何 光 学 中关于 光线反射 定 律 的方 程：B：A 一 2 n(A n)，这 里 A 为人射 光 向 量，B为反 射光 向量，n为反射 面上入射点处的单位 法 向 量，(A n)为 A 与 n的 标 积。用 这 个 公 式 可 以 计 算本题 的光线传播 问题。Q点 向 c点发射 的光束是象散光束还是近似地 作 为平行光束要根据计算 的结果来选取。当一个 发光
7、 图2 光束反射 点 P离开光轴 O A距 离很远时，它照到镜片上一般都会产生图 3的情况，(为 了使得 图样线条变 得 清晰，图3 用透镜来 表示反射情形)。如果发光点 P在光轴 O A上，即 F点，子午焦线和弧矢焦 线就不分 离，它们 或者合成一个焦点，或者如本题 目中所产生的平行光。如果 发光点 P很靠近 光轴 O A，结果或者是图 3上 的子午焦线和弧矢焦线会靠得很近，或者如本题 中它们 离光学系 统都非常远，甚至近似为没有焦线 的平行光束。本题 的线光源端点离光轴 O A的距离是半个线 光源的长度，好在最远发光点离开光轴不远，因此可以从线光源的一端向抛物 面反射镜边界作 几条光线(如
8、图 3)，并计算 出反射光线 的相交情况，看两条焦线是否离开光学系统很远，或者几 乎没有。如果是 这样，Q点 向 c点发射的光束就可以近似地作为平行光束，否则就是象散光束，就需要考虑屏 上的光斑形状。被 照 屏 A B C 上 的 照 度 与 Q c光 线 入 射 角(屏 面 的 垂 线 0 A与 Q c的夹 角)的余 弦成 正比，这是照度 的余 弦法则(称 为布给定 律)。因此本题屏 上 的 照度 公 式 应 该 乘 以 C O S 。另 外，屏 上 的 照 度 应 遵 循 照 度 叠 加 原 理，即，在 屏 面 上 得 到 的 总 照度 为各 个 分 照 度 的 和。最 后，可 以将 这
9、些 总 和 叠 加，把 具 有 相 同照度 的点 连 成 曲线，称 为 等照度线。佳 、线 图 3 几条 光 线反 射 图 矢 焦 线 至于 P R线光源直接射到屏上的光在这里可忽略不计，因为直射光与反射光在屏上的照 度之比(P QI F A)一 1 0，太小了。另外，如果在屏上的照度的公式上乘(P p)，就是将抛物面 反射镜看成漫射反光 面，与镜面反射 的题意不符。解题基 本 的方法是先 算 出从一点 P到一点 Q，再到一点 c的屏 上照度 的关 系。然后再对 所 有的 P和 Q计 算成总照度。这种方法具有通用性，但是 只有最终 的结果，不好 做出 阶段性 的正 误 判 断。维普资讯 htt
10、p:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657 第 5期 关 于“车灯 线光 源 的优化设 计”问题 的光 学思路 7 3 利用本题 的特点，也可 以先从 一点 P出发，经过抛 物面反射镜上所有 可能 的 Q点，到达 屏 上 C点，再 对 相 应 的 照 度 进 行 叠加，组 成 分 照 度。然 后，再 把 对 所 有 P 点 所 对 应 的 分 照 度 叠加。这种方法 的好处是在计算分 照度时就可以知道是否有 大 的差错。比如 对应于 F点，在 屏上 的分照度所
11、显示 的光斑 的半径应该 是抛 物面反射镜 开 口半径 3 6毫米，对 于其他的 P点 也不应该有大 的 出入，如果 差得很 大，则计算 错 了。按 照这种 设想，可 以直 接得 到照射 到 c 点 时所 需 要 的 线 光 源 粗 略长 度，得 到 L 3 1 2 毫 米，即 F D=2*A C A O。因 为线 光 源上 一点发 的光被抛 物面反射镜反射 时，会象探照灯一样 的把基 本上 是平 行 的光 照射 到另一边 的屏上，而屏上光斑 的半径如果与 3 6毫 米差 不太多的话，则 比起 A c的 2 6 0 0毫米要小得多，所 以取这样 的近似是合理 的，如果最终得到的 与此差得很多则
12、是计算错 了。当然如果先 对一点 Q，并 对所有 P点进行计算，再对所有 Q进行计算，如果计算 的结果 是正确 的，方法如果能够做 到较方便一些，则也是一个方 法。参考文献：1 王之江 光学 技术 手册(上册)机 械工业 出版 社，1 9 9 4，p l 一3、p 2 32 5、p 3 2 3 3、p 5 1 1 5 1 9、p 5 8 66 4 8、p 7 9 6 An Op t i c a l Th i nk i ng Ab ou t t he Pr o b l e m o f”Optimal De s i g n f o r Li n e a r He a d l i g h t S o
13、 ur c e”TANG W“(S h a n g h a i I n s t i t u t e o f L a s e r T e c h n o l o g y，S h a n g h a i 2 0 0 2 3 3)Ab s t r a c t：I n t hi s p a p e r，the thi n k i n g t o s o l v e the p r o b l e m o f o p t i ma l d e s i g n f o r l i n e a r h e a d l i g h t s o u r c e i s d i s c u s s e d b y
14、 u s i n g o p t i c a l me t h o d s t h a t c o n t a i n L a mb e r t s(c o s i n e)l a w o f l i g h t s o u r c e，the v e c t o r e q u a t i o n o f r a y r e fl e c ti o n l a w，the i l l u mi n a t i o n d i s t r i b u t i o n，the h o mo c e n t r l c b e a m a n d th e a s t i g ma t i c b
15、 e a m a n a l y s i s o f a p p r o x i ma t e p a r all d b e a m e t c Ke y w o r d s：L i n e a r l i ght sou r c e；p a r a b o l o i d al m i r r o r (上接 9 3页)The Op tim u m De s i g n o n Lot t e r y Sc h e me s xI Yue，DOU W e n，GAO Yun qi ng Adv i s o r：ZHANG Zhi q i a ng (S o u t h e a s t Un
16、 i v e r s i t y，Na n j i n g 2 1 0 0 9 6)Ab s t r a c t：T h e p rob a b i l i ty o f e a c h p riz ei t e m a n dthe s e t t i n g o ft h e p ri z ei t e m an d the p ri z ewe re res e a r c h e d，an d the e ffec t s o n r a t i o n ali ty o fthe l o tte r y s c h e me c a u s e d b y l o t t e r y
17、 a t t r a c t i o n for l o tt e ry f an s we r e a l so d i s c u s s e dT wo p rob l e ms we re an aly z e dI n fl int p rob l e m，the 2 9 s c h e m e s w e r e g i v e n R a ti o n ali t y o f eac hseh me w as n u m b e r e d b yf ai n t g e n e r a l me tho dandWas m e a s m d b ygiv i n gthe c
18、 o e ff i c i e n t st o e ff ec t o n the r a ti o n a l f a c t o r s，an d th e r e s u l t s h o wed tha t the s c h e me s 2 6 an d 2 7 a r e the b e s t s c h e mes，wh i c h the i r r a ti o n a l f a c t o r a r e 0 5 3 0 0 an d 0 6 41 4Th e nthe s ta b i l ity o ft h emo d e lWas a n a l y z
19、e dI n s eco n d a r y p r o b l e m，a b o u t 2 9 s c h e me si nthefl int p rob l e m，the r a ti o n ali ty o f e a c h s c h e me Was c o mp u t ed b yl i n e a r o p t i mi z a t i o n，wh i c h the i r b e s t r a ti o n a lf a c t o ran dset t i n g o fbe s t p r i z e i t e m we re c o mp u te
20、d b y L i n g o sef t w ar e I nthe fi n a l，the o the r f ect o m a b o u t them o d e l w e remo r e d i s c u s s ed，a n dsom e k i n d a d v i c eW as b rou ght fo r w a r dt omaeag e me n tan dl o t t e ry f an Ke y wo r fl s：p rob a bi l i t y；d i s t r i b u tio n a n d set t i n g o f the b o n u s；the a t t r a c ti o n；the r a t i o n a l i ty o f the L o t t e ry s c h e mes；Fu z z y Ev alu a ti o n 1 i j；、l -l ；j ；l ，、_ ；、，1 t，毒 、，、，-L 维普资讯 http:/ 获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657
