1、-1-2005 年考研数学（三）真题解析年考研数学（三）真题解析一、填空题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim2xxxx=2.【分析分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解详解】12sinlim2xxxx=.212lim2xxxx（2）微分方程0yyx满足初始条件2)1(y的特解为2xy.【分析分析】直接积分即可.【详解详解】原方程可化为0)(xy，积分得Cxy，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2.（3）设二元函数)1ln()1(yxxezyx，则)0,1(dzdyeedx)2(2.
2、【分析分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解详解】)1ln(yxeexzyxyx,yxxeyzyx11,于是)0,1(dzdyeedx)2(2.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),1,2(aa，),1,2,3(a，)1,2,3,4(线性相关，且1a，则 a=21.【分析分析】四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a.【详解详解】由题设，有1234123121112aaa0)12)(1(aa,得21,1aa，但题设1a，故.21a（5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X,再从X,2,1中任取一个数，记为 Y,则2YP=4813.【分析分析】本题涉及到
3、两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解详解】2YP=121XYPXP+222XYPXP-2-+323XYPXP+424XYPXP=.4813)4131210(41（6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件0X与1YX相互独立，则 a=0.4,b=0.1.【分析分析】首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解详解】由题设，知a+b=0.5又事件0X与1YX相互独立，于是有101,0YXPXPYXXP，即a=)(4.0(
4、baa,由此可解得a=0.4,b=0.1二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当 a 取下列哪个值时，函数axxxxf1292)(23恰好有两个不同的零点.(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.B【分析分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数 f(x)恰好有两个不同的零点.【详解详解】12186)(2xxxf=)2)(1(6xx，知可能极值点为 x=1,x=2，且afaf4)2(,5)1(，可见当 a=4 时，函数
5、 f(x)恰好有两个零点，故应选(B).（8）设dyxID221cos,dyxID)cos(222,dyxID2223)cos(,其 中1),(22yxyxD，则(A)123III.（B）321III.(C)312III.(D)213III.A【分析分析】关键在于比较22yx、22yx 与222)(yx 在区域1),(22yxyxD上的大小.【详解详解】在区域1),(22yxyxD上，有1022yx，从而有2212yx 22yx 0)(222 yx-3-由于 cosx 在)2,0(上为单调减函数，于是22cos0yx)cos(22yx 222)cos(yx 因此dyxD22cosdyxD)co
6、s(22dyxD222)cos(，故应选(A).（9）设,2,1,0nan若1nna发散，11)1(nnna收敛，则下列结论正确的是(A)112nna收敛，12nna发散.（B）12nna收敛，112nna发散.(C)(1212nnnaa收敛.(D)(1212nnnaa收敛.D【分析分析】可通过反例用排除法找到正确答案.【详解详解】取nan1，则1nna发散，11)1(nnna收敛，但112nna与12nna均发散，排除(A),(B)选项，且)(1212nnnaa发散，进一步排除(C),故应选(D).事实上，级数)(1212nnnaa的部分和数列极限存在.（10）设xxxxfcossin)(,
7、下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值，)2(f是极小值.（B）f(0)是极小值，)2(f是极大值.（C）f(0)是极大值，)2(f也是极大值.(D)f(0)是极小值，)2(f也是极小值.B【分析分析】先求出)(),(xfxf，再用取极值的充分条件判断即可.【详解详解】xxxxxxxfcossincossin)(，显然0)2(,0)0(ff，又xxxxfsincos)(，且02)2(,01)0(ff，故 f(0)是极小值，)2(f是极大值，应选(B).（11）以下四个命题中，正确的是(A)若)(xf 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.（B）若)(xf在（0，1）内连续，则
8、f(x)在（0，1）内有界.-4-（C）若)(xf 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界.(D)若)(xf在（0，1）内有界，则)(xf 在（0，1）内有界.C【分析分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解详解】设 f(x)=x1,则 f(x)及21)(xxf均在（0，1）内连续，但 f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B);又xxf)(在（0，1）内有界，但xxf21)(在（0，1）内无界，排除(D).故应选(C).（12）设矩阵 A=33)(ija满足TAA*，其中*A是 A 的伴随矩阵，TA为 A 的转置矩阵.若131211,aaa为三个相等的正数，则11a为(
9、A)33.(B)3.(C)31.(D)3.A【分析分析】题设与 A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.*EAAAAA.【详解详解】由TAA*及EAAAAA*，有3,2,1,jiAaijij，其中ijA为ija的代数余子式，且032AAAEAAAT或1A而03211131312121111aAaAaAaA，于是1A，且.3311a故正确选项为(A).（13）设21,是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21A线性无关的充分必要条件是(A)01.(B)02.(C)01.(D)02.D【分析分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩
10、即可.【详解详解】方法一：令0)(21211Akk，则022211211kkk，0)(2221121kkk.由于21,线性无关，于是有.0,022121kkk当02时，显然有0,021kk，此时1，)(21A线性无关；反过来，若1，)(21A-5-线性无关，则必然有02(,否则，1与)(21A=11线性相关)，故应选(B).方法二：由于21212211121101,)(,A，可见1，)(21A线性无关的充要条件是.001221故应选(D).（14）设一批零件的长度服从正态分布),(2N，其中2,均未知.现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值)(20 cmx，样本标准差)(1 cms，则的置
11、信度为 0.90 的置信区间是(A).16(4120),16(4120(05.005.0tt(B).16(4120),16(4120(1.01.0tt(C).15(4120),15(4120(05.005.0tt(D).15(4120),15(4120(1.01.0ttC【分析分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：).1(ntnsx【详解详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1(ntnsx，故的置信度为 0.90 的置信区间是)1(1),1(1(22ntnxntnx，即).15(4120),15(4120(05.005.0tt故应选(C).三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 小题
12、，满分小题，满分 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（）（15）（本题满分）（本题满分 8 分）分）求).111(lim0 xexxx【分析分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解详解】)1(1lim)111(lim200 xxxxxexexxxex=2201limxexxxx=xexxx221lim0=.2322lim0 xxe（16）（本题满分）（本题满分 8 分）分）-6-设 f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(yxyfxyfyxg，求.222222ygyxgx【分析分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【
13、详解详解】由已知条件可得)()(2yxfxyfxyxg，)(1)()(242322yxfyyxfxyxyfxyxg ，)()()(1yxfyxyxfxyfxyg，)()()()(13222222yxfyxyxfyxyxfyxxyfxyg ，所以222222ygyxgx=)()()(2222yxfyxyxfxyxyfxy )()(222yxfyxxyfxy =).(2xyfxy（17）（本题满分）（本题满分 9 分）分）计算二重积分dyxD122，其中10,10),(yxyxD.【分析分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解详解】记),(,1),(2
14、21DyxyxyxD，),(,1),(222DyxyxyxD，于是dyxD122=1)1(22Ddxdyyx2)1(22Ddxdyyx=20210)1(rdrrdDdxdyyx)1(221)1(22Ddxdyyx=8+20102210210)1()1(rdrrddyyxdx=.314（18）（本题满分）（本题满分 9 分）分）求幂级数12)1121(nnxn在区间(-1,1)内的和函数 S(x).-7-【分析分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【详解详解】设12)1121()(nnxnxS，121121)(nnxnxS，1
15、22)(nnxxS，则)()()(21xSxSxS，).1,1(x由于122)(nnxxS=221xx，)1,1(,1)(22121xxxxxxSnn,因此xxxxdtttxxS022111ln211)(，又由于0)0(1S，故.0,1,0,11ln211)(1xxxxxxS所以)()()(21xSxSxS.0,1,0,1111ln212xxxxxx（19）（本题满分）（本题满分 8 分）分）设 f(x),g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0,0)(xf,0)(xg.证明：对任何 a 1,0,有agafdxxgxfdxxfxg010).1()()()()()(【分析分析】可用参数变易
16、法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解详解】方法一：设)(xFxgxfdttgtfdttftg010)1()()()()()(，则 F(x)在0，1上的导数连续，并且)(xF)1()()()1()()()(gxgxfgxfxfxg，由于 1,0 x时，0)(,0)(xgxf，因此0)(xF，即 F(x)在0，1上单调递减.-8-注意到)1(F1010)1()1()()()()(gfdttgtfdttftg，而10101010)()()()()()()()(dttgtftftgtdftgdttftg=10)()()1()1(dttgtfgf，故 F(1)=0.因此
17、 1,0 x时，0)(xF，由此可得对任何 1,0a，有agafdxxgxfdxxfxg010).1()()()()()(方法二：aaadxxgxfxfxgdxxfxg000)()()()()()(=adxxgxfagaf0)()()()(，adxxgxfdxxfxg010)()()()(=100)()()()()()(dxxgxfdxxgxfagafa1.)()()()(adxxgxfagaf由于 1,0 x时，0)(xg，因此)()()()(xgafxgxf，1,ax，1010)()1()()()()()(aggafdxxgafdxxgxf，从而adxxgxfdxxfxg010)()()(
18、)().1()()()1()()()(gafaggafagaf（20）（本题满分）（本题满分 13 分）分）已知齐次线性方程组（i）,0,0532,032321321321axxxxxxxxx和（ii）,0)1(2,03221321xcxbxcxbxx同解，求 a,b,c 的值.-9-【分析分析】方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定 a，这样先求出（i）的通解，再代入方程组（ii）确定 b,c 即可.【详解详解】方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于 3.对方
19、程组（i）的系数矩阵施以初等行变换20011010111532321aa，从而 a=2.此时，方程组（i）的系数矩阵可化为000110101211532321，故T)1,1,1(是方程组（i）的一个基础解系.将1,1,1321xxx代入方程组（ii）可得2,1cb或.1,0cb当2,1cb时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有110101312211，显然此时方程组（i）与（ii）同解.当1,0cb时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有000101202101，显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同.综上所述，当 a=2,b=1,c=2 时，方程组（i）与（ii）同解.（
20、21）（本题满分）（本题满分 13 分）分）设BCCADT为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为nm矩阵.(I)计算DPPT，其中nmEoCAEP1；（II）利用(I)的结果判断矩阵CACBT1是否为正定矩阵，并证明你的结论.【分析分析】第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.-10-【详解详解】(I)因nTmTEACoEP1，有DPPT=nTmEACoE1BCCATnmEoCAE1=CACBoCAT1nmEoCAE1=CACBooAT1.（II）矩阵CACBT1是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵 D 合同于矩阵.1CACBo
21、oAMT又 D 为正定矩阵，可知矩阵 M 为正定矩阵.因 矩 阵 M 为 对 称 矩 阵，故CACBT1为 对 称 矩 阵.对TX)0,0,0(及 任 意 的0),(21TnyyyY，有.0)(),(11YCACBYYXCACBooAYXTTTTT故CACBT1为正定矩阵.（22）（本题满分）（本题满分 13 分）分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他xyxyxf求：（I）(X,Y)的边缘概率密度)(),(yfxfYX；（II）YXZ 2的概率密度).(zfZ(III).2121XYP【分析分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一
22、般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度;直接用条件概率公式计算即可.【详解详解】（I）关于 X 的边缘概率密度)(xfX=dyyxf),(=.,10,0,20其他xdyx-11-=.,10,0,2其他xx关于 Y 的边缘概率密度)(yfY=dxyxf),(=.,20,0,12其他ydxy=.,20,0,21其他yy（II）令2)(zYXPzZPzFZ，1）当0z时，02)(zYXPzFZ；2）当20 z时，2)(zYXPzFZ=241zz;3)当2z时，.12)(zYXPzFZ即分布函数为：.2,20,0,1,41,0)(2zzzzzzFZ故所求的概率密度为：.,20
23、,0,211)(其他zzzfZ（III）.43411632121,212121XPYXPXYP（23）（本题满分）（本题满分 13 分）分）设)2(,21nXXXn为 来 自 总 体 N(0,2)的 简 单 随 机 样 本，X为 样 本 均 值，记.,2,1,niXXYii求：（I）iY的方差niDYi,2,1,；（II）1Y与nY的协方差).,(1nYYCov（III）若21)(nYYc是2的无偏估计量，求常数 c.【分析分析】先将iY表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y与nY的协方-12-差),(1nYYCov，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的
24、运算性质；估计21)(nYYc，利用其数学期望等于2确定 c 即可.【详解详解】由题设，知)2(,21nXXXn相互独立，且),2,1(,02niDXEXii，.0XE（I）nijjiiiXnXnDXXDDY1)11()(=nijjiDXnDXn221)11(=.1)1(1)1(222222nnnnnn（II）)(),(111nnnEYYEYYEYYCov=)()(11XXXXEYYEnn=)(211XXXXXXXEnn=211)(2)(XEXXEXXEn=22121)(20XEXDXXXEnnjj=.112222nnn（III）)()(121nnYYcDYYcE=),(2121nYYCovDYDYc=222)2(2211cnnnnnnnc，故.)2(2nnc
