1、第九届华杯赛总决赛一试试题及解答1. 计算: 2.002. 0（结果用最简分数表示）2.水池装有一个水管和若干每小时注水量相同的注水管，注水管注水时，排水管同时排水若用12个注水管注水，8小时可注满水池；若用9个注水管注水，24小时可注满水池现在用8个注水管注水，那么需要多少小时注满水池？3.在操场上做游戏，上午8：00从A地出发，匀速地行走，每走5分钟就折转90o。问：(1)上午9：20能否恰好回到原处？(2)上午9：10能否恰好回到原处？如果能，请说明理由，并设计一条路线如果不能，请说明理由。4. 1到100所有自然数中与100互质各数之和是多少？5. 老王和老张各有5角和8角的邮票若干张
2、，没有其它面值的邮票，但是他们邮票的总张数一样多老王的5角邮票的张数与8角邮票张数相同，老张的5角邮票的金额等于8角邮票的金额用他们的邮票共同支付110元的邮资足够有余，但不够支付160元的邮资问他们各有8角邮票多少张？6. 在下面一列数中，从第二个数开始，每个数都比它前面相邻的数大7，8，15，22，29，36，43，。它们前n-1个数相乘的积的末尾0的个数比前n个数相乘的积的末尾0的个数少3个，求n的最小值1答：2.002. 0原式2.解:设单开水管需x小时将满池水排完,单开一个注水管需要y小时,则可知排水管每小时排整池水的,注水管每小时注水,可知有即为同时由2小时用9个注水管注满水知即为
3、将-得可知代入中得所以用8个注水管注水每小时注水故需用时(小时)答:用8个注水管注水,需要72小时注满水池.3.答:(1)上午9:20分恰好回到原地.我们可以设计如下的路线:我们若没定每走5分钟都按顺时针方向(或逆时针方向)折转90,则可知每过20分钟回到原处,而到9:20恰好过了80分钟,故可知9:20恰好第4次回原处.(2)上午9:10不能回到原地.因为到上午9:10共走了70分钟,而我们可以验证不管每一步为逆时针折转90,还是顺时针折转90都不能在70分钟内回原地.4.解:我们可以先去考虑到100的所有自然数中与100不可质的数,因为100=2255,故1到100中所有含因子2或5的数都
4、与100不互质.其中含因子2的有2,4,6,8，100(即为50个数),含因子5的有5，10，15，20，100但其中10，20，30，100已经包括在上面内,故与100不互质的1到100之内的数为:2，4，6，100，5，15，25，95。这些数的和为：2+4+6+100+5+15+25+95=而1到100的自然而然数和为：所以与100互质的自然数之和为：5050-3050=2000。答:1到100所有自然数中与100互质各数之和为2000.5.解:设老王有8角邮票x张,老张有8角邮票y张,可知老王的5角邮票也有x张,故该总张数为2x张,则老张的5角邮票为张.由老张5角邮票金额等于8角邮票金
5、额知即为又由他们可共同支付110元到160元之间的邮资知将代入中得同时又由为整数知x为13的整数结合上述两个条件知,又由知答:老王共有52张8角邮票,老张有40张8角邮票。6.解:观察这列数可知每个数除以7余数为1,由题意知若使n最小,则第n个数必须含有3个5的因子,这样由5的因子数少于2因子数知前n个相乘方会比前n-1个多3个0。所以第n个数可写成的形式,即为(k为自然数)且125k除以7余数为1,这样最小的k值为6。即第n个数为.此时再根据第n个数又可表示为知可得答:n的最小值为107。第九届华杯赛总决赛二试试题及解答1.一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃
6、树，往内一圈是李树，然后是桃树，最内一圈种了4棵李树已知树苗的的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵问：桃树和李树一共有多少棵？2.如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在ABC外作半圆AEC和BFC当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大3、甲、乙两家医院同时接受同样数量的病人，每个病人患x病或y病中的一种，经过几天治疗，甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人问：经过这几天治疗后，是否可能甲医院对x病的治愈率和对y病的治愈率均低于乙医院的？举例说明（x病治愈率=）4、完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙需要24小时，丙需要30小时现甲
7、、乙和丙按如下顺序工作：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙、，每人工作一小时换班，直到工程完成问：当工程完成时，甲、乙、丙各干了多少小时？5、求同时满足下列三个条件的自然数a，b：1）ab；2）3）ab是平方数6.如图，正方形跑道ABCD甲、乙、丙三人同时从A点出发同向跑步，他们的速度分别为每秒5米、4米、3米若干时间后，甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形的同一条边上，且他们在自己的前方从此时刻算起，又经过21秒，甲乙丙三人处在跑道的同一位置，这是出发后三人第一次处在同一位置请计算出正方形的周长的所有可能值1400棵2当C点在通过圆心且与直径AB垂直的直线与半圆的交点处时，两弯月型的面积最大
8、3能4当工程完成时，甲干了72小时；乙、丙各干了8小时56正方形跑道的周长是210米或420米1解：下图画出苗圃的最里面3层，可以看出，苗圃所种果树的棵数为：4122028，每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，4085，所以共有10圈，最外圈的桃树为49876棵，果树总棵数为400（棵）2解：两弯月形面积ACBCACBC本题即ACBC何时有最大值.因为，当时，有最大值，此时ACBC有最大值，即ACBC时，阴影面积最大.3解：例如，甲、乙医院接收和治愈x，y病的人数如下表：甲医院x病y病合计接收人数2080100治愈人数14041治愈率5%50%乙医院x病y病合计接收人数8020100治愈人
9、数202040治愈率25%100%4解：三人各干一小时完成，360477，即经过每人干7小时还剩工程的17没有干完，从题目所给的换班规则（每次3小时，各干1小时），每三次一个周期，三人的工作顺序第8次换班应和第二次相同，即按乙、丙、甲的顺序，就是说，乙、丙又各干一小时，还剩的工作量，0.2（小时）即当工程完成时，甲干了72小时；乙、丙各干了8小时5解：由，可得：ab169a169b，ab169a169b，a，ab，因为ab是平方数，所以b169是平方数，设b169，b169；同理可得ab169b169a，b，ab，a169是平方数，设a169，a+169；于是，ab2169.216921313，或216921169，或216921691，因为ab，所以mn，ab是平方数，所以，m169，n1，a169169169170，b169169170.6解：甲跑5圈孤时间，乙跑4圈，再跑3圈，此时三人处在同一位置，都在A点倒退21秒，甲的位置距A点521=105（米），甲与丙相距（5-3）21=42（米）因为此时甲首次看到乙、丙与自己在同一条边上，所以甲此时应恰好在正方形的某一顶点上，即105米是正方形边长的整数倍，且正方形的边长不小于42米105110542， 105252.542，10533542.所以正方形的边长是105米或52.5米，周长为420米或210米
