1、第四届华杯赛决赛一试试题 1在100以内与77互质的所有奇数之和是多少？ 2图1，图2是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图3所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6cm，问：图1，图2中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？ 3这是一个道路图，A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60个孩子到路口B，问：先后共有多少个孩子到路口C？ 4表示一个四位数，表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9的不同的数字。已知，问：乘积的最大与最小值差多少？ 5一组互不相同的自然数，其
2、中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和，问：这组数之和最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。 6一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度是4千米/小时。甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/小时，乙在静水中速度是20千米/小时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两港口的距离。 参考答案1.和为1959 2.图1中画斜线区域的周长比图2中画斜线
3、区域的周长大2AB=12cm3.走过C的人数为48（人） 4.最大值与最小值的差是525000 5.最大值是80，最小值是61，且1+2+3+5+10+15+25=61 6.240千米1.【解】设A为100以内所有奇数之和，B为100以内不与77互质的全体奇数之和，X为100以内与77互质的所有奇数之和,则 XAB显然A135799501002500又77711100以内有约数7的奇数之和为7(135791113)714343100以内有约数11的奇数之和为 11(13579)510275所以B34327577541于是，所求之和为 X250054119592.【解】图1中画阴影区域的周长恰好
4、等于大长方形的周长，图2中画阴影区域的周长显然比大长方形的周长小，二者之差是2AB从图2的竖直方向看，ABaCD再从图2的水平方向看，大长方形的长是a2b，宽是2bCD。己知大长方形的长比宽多6cm所以(a2b)(2bCD)aCD6(cm)，从而AB6(cm)因此，图1中画斜线区域的周长比图2中画斜线区域的周长大 2AB12cm。3.【解】在A处的孩子数目看成1份，那么可顺次标出各道口处走过的孩子的份数，可见B处有，C处有。C处孩子总数是 6048(人)4.【解】可以看出A1，因为EO，1，所以B最大为7，这时E2由于D、G都不能是O，1，所以DG13，CF8由于FO，1，2，所以C最大为5。
5、从而三位数最大为759，这时34。 最小为234(这时759最大)。 (1000)(993)，10009931000993一9930007于是在最大时，乘积最小，最小时，乘积最大，因此，所求的差是(9930007234234234)(9930007759759759)7(759234)7597592342347(759234)(759234)(759234)7(759234)993(759234)1000759234)525000。5.【解】数组1，2，3，5，10，15，25的和是61，我们证明61就是最小值。首先25是组中两个数a、b的和，不妨设ab，而除去1外，组中最小的数必定是2(否则
6、这最小的数不是两个数的和，也不是1的两倍)。第三个小的数是3或4，在前一种情况，第四个小的数可能是4、5、6；在后一种情况，第四个小的数可能是5、6、8如果b8，那么除去1，2，3，4ba25(1)及1，2，3，5ba25(2)另外，其它情况各数的和均大于61，而由于b8，前一种情况，至少要增加一个大于4的数，各数的和仍大于61，后一种情况，各数的和同样会大于61，除非b10，相应地a15，即上面所列举的数为61的情况如果b8，那么a17，为了将a表示成两个数的和或一个数的两倍，至少要有一个9的数，这样各数的和123b9a256561，因此只有数组1，2，3，5，10，15，25使和取得最小值
7、61。下面，讨论和的最大值，如上所述，除去1外，组中最小的数必定是2，第三个小的数是3或4，在前一种情况，第四个小的数可能是4、5、6；在后一种情况，第四个小的数可能是5、6、8。要使和最大，次大的数可取24，从而数组1，2，4，8，16，24，25的和是80，应为和的最大值。6.【解】设A、B两个港口相距S千米，甲、乙两船第二次迎面相遇时的位置与港口A相距x千米，甲船第二次追上乙船时的位置与港口A相距y千米。第一步先求x，甲、乙第二次迎面相遇，甲顺水行(Sx)千米，逆水行S千米，乙顺水行S千米，逆水行(Sx)千米，甲顺水速度32(284)千米小时，逆水速度24(284)千米小时；乙顺水速度2
8、4(204)千米小时，逆水速度16(204)千米小时，两船所用时间相等，所以 32。24 24。16即S十x2(Sx)解得xS第二步求y如果甲船在逆水时第二次追上乙，那么乙船顺水行nS千米(n为自然数)，逆水行(nSy)千米，甲船顺水行(nS2S)千米，逆水行(nS2Sy)千米，并且即去分母(两边同乘96)得(3n14)S2y由于左边是S的整数倍，右边yS，所以必有y如果甲船在顺水时第二次追上乙，那么乙船顺水行(nSy)千米，逆水行nS千米，甲船顺水行(nS2Sy)千米，逆水行(nS2S)千米，并且化简得y(143n)S(1)由于14除以3余2，所以(143n)S2S而yS，从而(1)不能成立因此，y第三步求S由40得S40()240(千米)答：两港相距240千米。
