1、数学模型初步（二） 第 课27课题双种群竞争的Lotka-Volterra模型、三种群的Gause-Lotka-Volterra模型和RPS博弈模型课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：掌握使用双种群竞争的Lotka-Volterra模型、三种群的Gause-Lotka-Volterra模型和RPS博弈模型解决实际问题的方法思政育人目标：通过使用数学建模解决实际问题，引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：理
2、解双种群竞争的Lotka-Volterra模型、三种群的Gause-Lotka-Volterra模型和RPS博弈模型教学难点：用双种群竞争的Lotka-Volterra模型、三种群的Gause-Lotka-Volterra模型和RPS博弈模型解决实际问题教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）知识讲解（43 min）第2节课：知识讲解（40 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪
3、律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（43 min）n 【教师】讲解双种群为竞争关系的Lotka-Volterra模型当两个种群为了争夺同一种有限的食物和生活空间而进行生存竞争时，最常见的结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的最大容量设和分别为时刻种群1和2的密度（或数量），分别为两个种群的环境最大容纳量和固有增长率，假设两个种群单独生长时均符合逻辑斯蒂克方程，即，可理解为尚未利用的“剩余资源项”，而为已利用资源项当考虑两个种群竞争或共同利用资源时，对于种群1，有，其中，为种群2对种群1的竞争系数，表示每个种群2个体所占的空间相当于个种群1个体所占的空间例如，表示一个种群2个体
4、消耗的食物相当于10个种群1个体消耗的食物由此可见，可以表示为每个种群2个体对种群1产生的竞争抑制效应表示每个种群2个体对种群1产生的竞争抑制效应与每个种群1个体对自身种群产生的竞争抑制效应相等；表示种群2对种群1产生的竞争抑制效应比种群1对自身种群产生的竞争抑制效应大；表示种群2对种群1产生的竞争抑制效应比种群1对自身种群产生的竞争抑制效应小同样，对于种群2，有，其中，为种群1对种群2的竞争系数这样，我们就得到了著名的洛特卡-沃尔泰拉（Lotka-Volterra）竞争系统，即从理论上讲，两个种群竞争的结局可能有三种：（1）种群1取胜，种群2被排挤；（2）种群1被排挤，种群2取胜；（3）两个
5、种群在竞争中获得共存的局面n 【学生】掌握双种群为竞争关系的Lotka-Volterra模型n 【教师】讲解双种群为捕食关系的Lotka-Volterra模型一位意大利生物学家曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究在研究过程中，他无意中发现了一些第一次世界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类数量占捕获总量百分比的资料从这些资料中，他发现软骨鱼（如鲨鱼等食肉鱼）占捕获总量的百分比明显增加，如表13-3所示，而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降表13-3在研究这个问题的过程中，V. Volterra将鱼划分为食饵和捕食者两类，其数量分别记为在大海中，由于食饵有足够的生存资源，它们之间不会因食物供应而发
6、生剧烈竞争，因此，在没有捕食者的情况下，可假设食饵数量按指数增长（马尔萨斯（Malthus）模型），即，其中，为食饵独立生存时（即在没有捕食者的情况下）的繁殖率实际上，因为捕食者存在，所以食饵的数量会减少，设其减少的速率与捕食者和食饵两者数量的乘积成正比，即，其中，反映捕食者掠取食饵的能力因此，在捕食者存在的情况下，食饵的增长方程为类似地，当食饵不存在时，捕食者种群按指数衰减，即，其中，为捕食者独立存在时（即在没有食饵的情况下）的死亡率由于食饵提供了食物，捕食者生命得以延续采取同样的分析，可知由捕食作用而导致捕食者的增长率为，其中，反映食饵对捕食者的供养能力因此，在食饵存在的情况下，捕食者的增
7、长方程为综上分析，在没有捕鱼的情况下，描述食用鱼和软骨鱼相互作用关系的数学模型为 （13-4）这就是所谓的捕食者食饵系统方程组（13-4）是非线性的，不易直接求解，但容易看出其有两个平衡点，即，运用常微分方程定性理论和稳定性的方法容易证明是不稳定的，是稳定的下面介绍如何求的平均值设是方程组（13-4）的一个周期解，周期为，和的平均值定义为，则，即和的平均值就是平衡值（证明略）现在，我们考虑捕鱼对捕食者食饵系统的影响引入捕捞能力系数，它表示单位时间内捕捞起来的鱼占总量的百分比因此，捕鱼使食用鱼的总数按的速度减少，软骨鱼总数按速度减少这样，真实的情况就可用修正的常微分方程组来描述对于，由上面结果可
8、知，和现在的平均值为，因此，在的情况下，适当地增加捕获强度可使食用鱼的数量（按平均数来计算）增加，而使软骨鱼的数量（按平均数来计算）减少相反，降低捕鱼强度可使软骨鱼的数量增加，而使食用鱼的数量减少，也就是说，捕获强度的降低，将有利于捕食者（软骨鱼）种群的繁殖增长n 【学生】掌握双种群为捕食关系的Lotka-Volterra模型通过演示数学建模解决实际问题的过程，使学生了解数学在实际中的应用第二节课知识讲解（40 min）n 【教师】讲解盖斯-洛特卡-沃尔泰拉模型Gause-Lotka-Volterra（GLV）方程组是一个描述生态系统中个物种相互竞争的非常简单的模型，这三个名字分别代表了俄罗斯
9、科学家Georgii Frantse-vitch Gause、奥匈出生的美籍科学家Alfred James Lotka以及意大利科学家VitoVolterra这个系统有时也被人们称为广义的Lotka-Volterra系统，因为它最初源自于A. J. Lotka和V. Volterra分别独立提出的二维捕食者与被捕食者模型，其退回到一维形式就是著名的Logistic模型GLV系统由个一阶微分方程描述，即，其中，描述物种的种群数量，是它的固有生长速率，是物种和物种的种间竞争系数特别要提到的是，表示物种的承载容量，其含义是在没有其他物种竞争，也不考虑扩散、噪声等其他因素影响的情况下，物种可以达到的最
10、大的种群数量这组方程是合理描述生态系统的最简单方程，有着极其广泛的应用n 【学生】了解盖斯-洛特卡-沃尔泰拉模型n 【教师】讲解RPS博弈模型（详见教材）n 【学生】了解RPS博弈模型通过演示数学建模解决实际问题的过程，使学生了解数学在实际中的应用课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课主要介绍了利用数学建模解决实际问题的方法。课后要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：用本章所学知识结合数学建模解决其他实际问题总结知识点，巩固印象，掌握数学建模的实际应用教学反思本节课效果不错，学生基本上掌握了使用数学建模解决实际问题的方法，但课下还需要多进行模拟练习。实践表明，学生的学习兴趣是自主学习的原动力。教学中，教师应多准备一些学生感兴趣的例题，以调动学生学习的积极性，提高学生学习的质量和效率5目 录
