1、八年级暑假班正反比例函数单元复习内容分析正比例函数和反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，从本章开始，我们以运动变化的观点为指导，引入变量和函数的初步的概念，学习两种与现实生活密切相关的简单函数通过对这两类函数的解析式定义域它们的图像和性质的逐一研究，深化了函数概念的理解，并得出研究函数的一般方法函数的概念与性质是初中阶段的重点(1)理解函数的意义，掌握函数的定义域和对应法则,会求出时的函数值(2)本章研究了两个最简单的函数，即正比例函数与反比例函数的定义图像和性质.这是本章的重点要理解这两个函数的概念，能借助直观的图像，得到它们的一些基本性质，并知道它们在现实生活中的广泛应用会用这些概念
2、和性质，采用一定的方法，并渗透数形结合的思想，去解决一些简单的实际问题(3)掌握函数的三种常用表示法，即解析法列表法和图像法知道各种表示法的优缺点，善于把这些方法结合起来，对函数进行分析与研究，还要善于利用图表获取信息处理信息去解决问题，善于用数形结合的思想研究性质知识结构知识精讲一函数的意义1在某个变化过程中有两个变量和，如果在它的允许值范围内变化，随着的变化而变化，也就是他们之间存在着相依关系，就说变量是变量的函数2当一个变量取一个确定值时，按照某一对应法则，另一个变量也有确定的值与它对应，这就反映了两个变量间的对应关系，就目前我们涉及的函数，对于自变量在它自己允许值范围内的每一个确定的值
3、，另一个变量都有唯一确定的值与它对应，这里的对应法则就是函数的要素之一3自变量可取值的范围，我们称它为定义域.每一个函数都有定义域，定义域是函数的要素之一.函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体就称为函数的值域，这也是函数的要素之一二正比例函数和反比例函数正比例函数反比例函数解析式图像经过两点的直线双曲线性质当时，图像经过第一三象限；当时，图像经过第二四象限当时，图像经过第一三象限当时，图像经过第二四象限增减性当时，的值随着的值增大而增大当时，的值随着的值增大而减小当时，在每个象限内，的值随着的值增大而减小；当时，在每个象限内，的值随着的值增大而增大三函数的常用表示法1数学方法“待
4、定系数法”，待定系数法是数学中常用的方法；2数学思想“数形结合”的思想，在解函数题时要充分利用所给函数图形，会正确画图选择题【习题1】 下列说法正确的是（ ）A不是的函数 B汽车的行驶速度与驾驶员的身高存在函数关系C凡是过原点的直线的解析式都是正比例函数 D反比例函数，当时，随的增大而减小【难度】【答案】D【解析】A答案中是函数关系；B答案中两者不存在函数关系；C答案中过原点的直线也可 以是轴和轴【总结】本题主要考查函数的概念，以及正、反比例函数的性质【习题2】 与成正比例，与成反比例，那么与的关系是（ ）A成正比例 B成反比例C可能成正比例也可能成反比例 D既不成正比例也不成反比例【难度】【
5、答案】B【解析】与成正比例，与成反比例，【总结】本题主要考查两个变量成正比例或者成反比例的概念【习题3】 若函数是正比例函数，则的值为（ ）AB CD【难度】【答案】C【解析】，则或【总结】本题主要考查正比例函数的概念【习题4】 函数的共同点是（ ）A图像经过相同的象限B随着逐渐增大，值逐渐减小C图像都经过原点D随着逐渐增大，值逐渐增大【难度】【答案】C【解析】都是正比例函数，因此图像都过原点【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质【习题5】 若正比例函数的图像经过点，则这个函数的图像一定经过点（ ）A B C D 【难度】【答案】C【解析】正比例函数解析式为，代入C中的点坐标，成立【总结】本
6、题主要考查正比例函数图像上点的坐标特征【习题6】 如图，过原点的一条直线与反比例函数的图像分别交于A、B两点若A点的坐标为，则B点的坐标为（ ）A B C D【难度】【答案】D【解析】正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称【习题7】 已知，则函数的图像经过（）A二、三象限B二、四象限C一、三象限D一、四象限【难度】【答案】C【解析】，【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质【习题8】 已知：点P是反比例函数的图像上任一点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k的值为（ ）A2 B C2 D4【难度】【答案】C【解析】过反比例函数上任一点分别作轴、轴垂线，构
7、成的矩形的面积为【总结】本题主要考查反比例函数图像性质中面积不变性的运用【习题9】 已知反比例函数在它的图像所在的每个象限内，y的值随x的值增大而增大，则k的取值范围是（ ）A B C D【难度】【答案】D【解析】在每个象限内y随着x的增大而增大【总结】考查反比例函数的定义和图像性质【习题10】 已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图像大致可表示为（ ）A B C D 【难度】【答案】A【解析】，【总结】本题主要考查反比例函数的图像性质，注意定义域的取值范围【习题11】 在同一直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像大致是（ ）A B C D【难度】【答案】B【解析】，经过二、
8、四象限，在二、四象限【总结】本题主要考查正、反比例函数图像的性质填空题【习题12】 函数的定义域是_【难度】【答案】【解析】需要满足，则【总结】本题主要考查函数的定义域的求法，当含有二次根式时，被开方数要非负，同时保证分母不为零【习题13】 已知，则=_【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查利用代入法求函数的值【习题14】 正比例函数的图像经过，那么这个正比例函数的解析式是_【难度】【答案】【解析】主要考查利用待定系数法求正比例函数解析式【习题15】 反比例函数的比例系数是_【难度】【答案】【解析】中叫做比例系数【总结】本题主要考查反比例函数比例系数的概念【习题16】 反比例函数的图像经
9、过点，那么这个反比例函数的解析式是_【难度】【答案】【解析】待定系数法求反比例函数解析式【习题17】 反比例函数，当、异号时，它的图像位于第_象限【难度】【答案】二、四【解析】异号时，则【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质【习题18】 若函数，当_时，此时函数是正比例函数，且图像在第一、三象限，随的减小而_【难度】【答案】2；减小【解析】，则；图像在第一、三象限，则【总结】本题主要考查正比例函数的概念以及正比例函数的图像的性质【习题19】 已知y和成正比例，并且当时，那么当时，y =_，当时，x =_【难度】【答案】-32；-512【解析】y和成正比例，当时，当时，；当时，则【总结】本题一
10、方面考查两个变量成正比例的概念，另一方面考查求函数值的问题【习题20】 要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q(米3)和水泵抽水时间t(小时)的函数关系式为_，t的取值范围为_【难度】【答案】；【解析】工作总量=工作时间工作效率【总结】本题主要考查函数与实际问题的结合【习题21】 已知函数和的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是_【难度】【答案】或【解析】当时，则，解得：所以两个函数的解析式为：和，联立，解得交点坐标为：或【总结】本题主要考查待定系数法求解析式以及利用解析式求交点坐标【习题22】 已知函数
11、，的图像如图所示，则正确结论是_两函数图像的交点的坐标为；当时，；当时，BC = 3；当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小【难度】【答案】【解析】，函数，的交点为；当时，函数的图像在上面，则； 当时，则； 函数，随着的增大而增大；随着的增大而减小【总结】本题主要考查正、反比例函数的图像和性质，以及根据图像比较函数值的大小简答题【习题23】 已知：函数，求：（1）自变量的取值范围； （2）在这个函数图像上，求的值； （3）当时，函数值等于多少？ （4）当取什么值时，函数值是3？【难度】【答案】（1）（1）；（2）19；（3）-59；（4）1【答案】【解析】（1）；（2） 当时，
12、；（3） 当时，；（4） ，两边平方可得：，则，；代入到原方程中，不满足方程，则【总结】本题主要考查根据函数解析式求函数值【习题24】 市出租车起步价是7元（路程小于或等于3千米），超过3千米加收1.2元，求出租车车费y与行程x（）之间的函数关系式【难度】【答案】【答案】【解析】【总结】本题主要考查根据实际问题确定函数解析式【习题25】 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距是0.25米求与的函数关系式【难度】【答案】【解析】用待定系数法求反比例函数解析式【习题26】 现有100本图书借给学生每人2本，写出余下书数y(本)与学生数x(人)之间的函数关
13、系式，并求自变量x的取值范围【难度】【答案】【解析】考查实际问题【习题27】 已知等腰三角形的周长为24，设腰长为，底边长为，试写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围【难度】【答案】【解析】由三角形三边关系可得：，将代入不等式中，可得： 【总结】本题主要考查函数关系式与实际问题之间的关系【习题28】 某下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x与售价y的关系如下表：数量x(千克)12345售价y(元)2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5写出y关于x的函数解析式并画出函数图像xy【难度】【答案】，图像略【解析】【总结】本题主要考查函数关系式与实际问题之间的关
14、系【习题29】 当k为何值时，函数，（1）是正比例函数，并求出此时的函数解析式；（2）是反比例函数，此时函数的图像在什么象限？【难度】【答案】（1）；（2），此时函数在一、三象限【解析】（1），则，函数解析式为；（2），则，函数解析式为，此时函数图像在一、三象限【总结】本题一方面考查正、反比例函数的概念，另一方面考查反比例函数的性质【习题30】 已知反比例函数的图像经过直线上的点（，m）求和的值【难度】【答案】，【解析】点（，m）在直线上，在反比例函数上，【总结】本题主要考查反比例函数图像上的点与图像的关系【习题31】 已知y是x的正比例函数，并且当时，如果是它图像上的一点，求的值【难度】【答
15、案】【解析】y是x的正比例函数，并且当时，是上的一点，【总结】本题主要考查正比例函数图像上的点与图像的关系【习题32】 若双曲线的图象经过第二、四象限，求的取值范围【难度】【答案】【解析】由题意，可得：，所以【总结】本题主要考查反比例函数的性质【习题33】 在反比例函数的图像上有三点，若，比较，的大小【难度】【答案】【解析】，则函数随着增大而增大【总结】本题主要考查反比例函数的性质【习题34】 若、是函数图象上的点，且，求、的大小关系【难度】【答案】【解析】函数随着增大而减小【总结】本题主要考查反比例函数的性质【习题35】 已知反比例函数经过点A和B，（1）求和的值；（2）若图像上有两点和，且
16、，试比较和的大小【难度】【答案】（1），；（2）【解析】（1）反比例函数经过点A，解得：反比例函数解析式为：，在上，（2），【总结】本题一方面考查利用待定系数法确定反比例函数的解析式，另一方面考查反比例函数图像的性质解答题【习题36】 已知点坐标为，点在直线上，求的面积【难度】【答案】9【解析】点在直线上，【总结】本题主要考查函数在求几何图形面积中的应用【习题37】 已知M是反比例函数图像上一点，MA轴于A，若，求这个反比例函数的解析式【难度】【答案】【解析】过反比例函数 (0)图像上一点作x轴的垂线（或y轴的垂线)构成的三角形的面积为【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用【习题
17、38】 已知直线过点，点是直线上一点，点的坐标，且，求点A的坐标【难度】【答案】或【解析】直线过点，点是直线上一点，可设，即，则或【总结】本题综合性较强，注意两种情况的讨论【习题39】 已知直线与双曲线交于点，且点的横坐标为4若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积【难度】【答案】15【解析】点的横坐标为4，其纵坐标为，在上，则反比例的解析式为，过点C、A分别作轴的垂线，垂足分别为E、F，则【总结】本题综合性较强，要注意分析坐标与距离的关系，另外注意利用割补法求面积【习题40】 正方形ABCD的边长为8厘米，现点P由点B出发，沿BCCD边，设点P从B点移动了x cm，求y关于的解析式，并写定义域【
18、难度】【答案】当时，；当时，【解析】当在BC上运动时，；当P在CD上运动时，【总结】本题主要考查动点与三角形面积的关系，注意分类讨论【习题41】 如图，正比例函数（0）与反比例函数的图像交于AC两点，AB轴于B，CD轴于D，求【难度】【答案】6【解析】正比例函数（0）与反比例函数的图像交于AC两点A、C关于原点对称，【总结】本题一方面考查反比例函数与正比例函数的交点坐标的特征，另一方面考查反比例函数图像的性质【习题42】 已知反比例函数的图像上有一点，过点向x轴，y轴分别作垂线，垂足分别为点、，且矩形的面积为15求这个反比例函数的解析式【难度】【答案】或【解析】过反比例函数上任一点分别作轴、轴
19、垂线，构成的矩形的面积为【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用【习题43】 已知正比例函数与反比例函数的图像交于AB两点，点A的坐标为（2，1）（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；（2）求点B的坐标【难度】【答案】（1），；（2）【解析】用待定系数法求函数解析式；正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称【习题44】 如图所示，在函数的图象上有三点ABC，过这三点分别向轴轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与轴轴围成的矩形的面积分别为、，比较、的大小【难度】【答案】【解析】过反比例函数上任一点分别作轴、轴垂线，构成的矩形的面积为【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用
20、【习题45】 如图所示，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于轴，y轴上，点B的坐标为B（，5），D是AB边上的一点，将ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，求该函数的解析式【难度】【答案】【解析】作EFOC，垂足为F，B（，5），根据折叠的性质，易得：直线的解析式为在其上，设，解得：（，因为点E在第二象限）反比例函数的解析式为【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查两点距离公式的运用，综合性较强，注意对题目条件的分析和把握【习题46】 两个反比例函数和在第一象限内的图像如下图所示，点P在的图像上，轴于点C，交的图像于点A，轴于点D，交的图
21、像于点B，当点P在的图像上运动时，以下结论一定正确的哪些？请说明理由ODB与OCA的面积相等；四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点【难度】【答案】【解析】ODB与OCA的面积相等，都等于；四边形PAOB的面积不会发生变化，为；设，则， PA与PB不一定相等由中所设可得：，要使，则，即满足当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点当点A是PC的中点时，则此时，则，则点B一定是PD的中点综上所述：正确【总结】本题主要考查反比例函数图像性质的运用【习题47】 双曲线、在第一象限的图像如图，已知，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于，若，求
22、的解析式【难度】【答案】【解析】设的解析式为，轴，的解析式为：【总结】本题主要考查函数与面积的结合，根据面积确定点的坐标，总而求出解析式【习题48】 已知反比例函数与正比例函数相交于点，点的坐标为（1）求正比例函数的解析式；（2）若正比例函数与反比例函数的图像在第一象限内交于点，过点和点分别做轴的垂线，分别交轴于点和点，和相交于点，求梯形的面积（3）联结，求的面积【难度】【答案】见解析【解析】（1）在反比例函数上，在正比例函数图像上，正比例函数的解析式为：；（2） 由，得：正比例函数与反比例函数的图像在第一象限内交于点轴，且在直线上，则，（3） ，又，【总结】本题主要考查正反比例函数的图像特征
23、，以及利用图像求几何图形面积【习题49】 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图像回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图像上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由【难度】yxOoADMCB【答案】见解析【解析】（1）将点代入到，得：，反比例的函数的表达式为， 正比例函数的解析式为（2） 第一象限内，当时，反比例函数的值大于正比例函数的值（3） ， 即，即，【总结】本题一方面考查利用待定系数法确定正、反比例函数的解析式，另一方面考查根据图像比较函数值的大小，综合性较强，注意分析条件23 / 23
