1、中考复习创新题型知识结构模块一：定义应用例题解析【例1】 定义x为不超过x的最大整数，如3.6 = 3， = 对于任意实数x，下列式子错误的是（ ） Ax = x（x为整数）B CD（n为整数）【难度】【答案】C【解析】由反例，可知C错误【总结】本题考查取整函数x的定义及应用【例2】 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”如果点（，）为点M的可控变点，则点M的坐标为_【难度】【答案】（-1，2）【解析】由题意得，当时，且不变，所以当，时， 即点坐标为（，2）【总结】把握好“可控变点”的定义，找出与两者之间存在的关系【例3】 定义
2、一种新运算：，如，则_【难度】【答案】0【解析】先计算，再计算【总结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序【例4】 已知，若规定，则y的最小值为（ ） A0B1CD2【难度】【答案】B【解析】把，代入，得到，当时，； 当时，所以的最小值是1，故选B【总结】考查分段函数求最值的问题【例5】 （2015学年浦东新区二模第17题）定义运算“*”：规定（其中a、 b为常数），若，_【难度】【答案】4【解析】把，代入运算法则，得，解得：， 所以21+12=4【总结】根据新运算，求出a、b的值是解答本题的关键【例6】 （2015学年宝山区、嘉定区二模第17题）对于实数m、n，定义一种运算“*”为：如果关于x
3、的方程有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是_【难度】【答案】0【解析】根据运算法则， 整理得，此方程有两个相等的实数根， 则，解得：（舍），所以a=0【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程根的判别式进行求解，注意二次项系数不能为零【例7】 （2014学年宝山区、嘉定区二模第17题）我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距如图，在和中，点D在边BC的延长线上，如果BC = DC = 3，那么和的外心距是_CABD【难度】【答案】3【解析】直角三角形的外心为斜边的中点，所以和 的外心分别为和的中点，这两个三角形的外心距 即的中位线，长度是【总结】本题考查的知
4、识点有直角三角形的外心、三角形的中位线【例8】 （2014学年虹口区二模第17题）定义a，b，c为函数的“特征数”如：函数的“特征数”是1，3，函数的“特征数”是0，4如果将“特征数”是2，0，4的函数图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式是_【难度】【答案】【解析】由题意得“特征数”是2，0，4的函数解析式为，向下平移3个单位可 得新函数的解析式为：【总结】特征数a，b，c即为二次函数的三个系数，已知特征数则可求得二次函数的解析式，再根据抛物线的平移法则“上加下减、左加右减”进行解题【例9】 （2015学年闸北区二模第17题）在平面直角坐标系xOy中，的半径为r，点
5、P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点为射线CP上一点，满足，则称点为点P关于的反演点如图为点P及其关于的反演点的示意图请写出点M（，0）关于以原点O为圆心，以1为半径的的反演点的坐标 xyPCPO【难度】【答案】（2，0）【解析】由反演点的定义可得， 即， 解得：，又点在轴上， 所以点的坐标为（2，0）【总结】掌握“反演点”的定义中，两点之间存在的关系【例10】 （2014学年普陀区二模第17题）如图1，对于平面上不大于90的，我们给出如下定义：如果点P在的内部，作，垂足分别为点E、，那么称PE + PF的值为点P相对于的“点角距离”，记为d（P，）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点P
6、在第一象限内，且点P的横坐标比纵坐标大1，对于，满足d（P，）= 5，点P的坐标是_图1图2【难度】【答案】（3，2）【解析】过点分别作轴，轴， 点P在第一象限内且横坐标比纵坐标大1， 设=，则=+1， d（P，）= 5， 可得：+=5，即+1=5，解得：=2， 所以点的坐标为（3,2）【总结】本次考查“点角距离”的定义，利用定义求解相关点的坐标模块二：阅读理解例题解析【例11】 一组数1，1，2，x，5，y，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为_【难度】【答案】8【解析】由题得，=1+2=3，=3+5=8【总结】本题难度不大，运算也比较简单【例12】
7、 四个数a、b、c、d排列成，我们称之为二阶行列式规定它的运算法则为：若，则x =_【难度】【答案】1【解析】由运算法则得，整理得：，解得：=1【总结】由运算法则整理，再解关于的方程即可【例13】 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号，表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程，的解为（ ） AB C或D或【难度】【答案】D【解析】当0时，解方程，得：，所以； 当0时，解方程，得：，所以； 综上，或，故选D【总结】本题注意分类讨论，根据定义进行取值，再解关于的方程【例14】 （2014学年奉贤区二模第17题）我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”如果等腰三
8、角形的腰长为2，“内角正度值”为45，那么该三角形的面积等于_【难度】【答案】1或2【解析】设最小角为，则最大角为，当顶角为，则，解得：，此三角形为等腰直角三角形， 此三角形的面积=； 当顶角为时，则，解得： 如图，作，在，此三角形的面积= 综上所述，该三角形的面积等于1或2【总结】本题注意分类讨论根据“内角正度值”的定义求出三角形各内角的度数，再进行面积的求解【例15】 （2013学年松江区二模第17题）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”已知，较短的一条直角边边长为1，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于
9、【难度】【答案】【解析】“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边上的中线，直角三角形的斜边中点到三顶点距离相等，不合题意；若“有趣中线”为边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；若“有趣中线”为另一直角边上的中线，如图所示，=1，设，则在中，勾股定理得1+，解得：=，所以=2=【总结】本题考查“有趣中线”的定义，注意分类讨论【例16】 （2015学年崇明县二模第17题）如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1 : 2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”当“协调边”为3时，它的周长为_【难度】【答案】8或10【解析】由题意可知，存在两种情况：
10、（1）一组邻边长分别为3和1，周长=8； （2）一组邻边长分别为3和2，周长=10【总结】本题考查“协调平行四边形”的定义及平行四边形的性质【例17】 （2015学年虹口区二模第17题）设正n边形的半径为R，边心距为r，如果我们将的值称为正n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是_（结果保留根号）【难度】【答案】【解析】设正六边形的边长为，则半径为R=，边心距为r=，所以=【总结】本题考查“接近度”的定义及正六边形的性质【例18】 （2013学年静安区二模第16题）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”已知，可用
11、“降次法”求得的值是_【难度】【答案】1【解析】由，得，代入=【总结】本题运用“降次”及“整体代入”的思想进行解题【例19】 （2014学年金山区二模第17题）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y = x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（，3）半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为_【难度】【答案】（0，5）或（-4，1）【解析】由题意得，连心线所在直线为，因为两圆外切，设另一圆心为圆，所以圆心距，设，所以， 解得：，所以圆心的坐标为（0,5）或（-4,1）【总结】本题考查了“孪生圆”的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系【例20】 （2013学年
12、黄浦区二模第17题）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”如果、半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d的取值范围是_【难度】【答案】【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交，可得，当小圆的圆心恰好在大圆上时，所以内相交的圆心距d取值范围是【总结】本题考查圆与圆的位置关系及“内相交”的定义模块三：规律探究例题解析【例21】 观察下列各数：1，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ） A B C D【难度】【答案】C【解析】根据题意，可知规律为，故第6个数为：，化简为，故选C【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律【例22】 按一定
13、规律排列的一列数：，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜测x、y、z满足的解析式是_【难度】【答案】【解析】由给出的这一列数字，可得出规律：从第三个数字开始，每个数等于它两个数的乘积，所以【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律【例23】 在平面直角坐标系中，有三个点A（1，）、B（，）、C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点为，关于点B的对称点为，关于点C的对称点为，按此规律，继续以点A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到点，则点的坐标为（ ） A（0，0） B（0，2） C（2，） D（，2）【难度】【答案】C【解析】由题意得（2，4）、（4，2）、（4，0）、（2，2）、
14、 （0，0），（0，2），每6个数形成一个周期，20176=3361，所以的坐 标和的坐标相同，故选C【总结】本题考查了点的对称问题及周期问题的处理【例24】 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_【难度】【答案】【解析】由题意得=22=4=22，=，=20，DCAB 由以上规律，可知=2-2014【总结】本题考查了找规律在几何图形中的应用随堂检测【习题1】 定义：如果二次函数（，、是常数）与（，、是常数）满足，那么称这两个函数互为“旋转函数”若函数与互为“旋转函数
15、”，则_【难度】【答案】-1【解析】由“旋转函数”的定义得，解得：， 所以（1）2017=1【总结】本题考查“旋转函数”的定义【习题2】 （2013学年虹口区二模第17题）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”在中，若是“好玩三角形”，则tan A =_【难度】【答案】或【解析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线不满足； 故只能是直角边上的中线等于此直角边的长， 如图所示，设=2，=， 则，在中，=2， 当为较小锐角时，； 当为较大锐角时，【总结】本题考查“好玩三角形”的定义，注意分类讨论【习题3】 （2013学年杨浦区二模第17题
16、）我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”现有两个全等三角形，边长分别为3cm、4cm、5cm将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是_cm【难度】【答案】【解析】如图，将两个全等的直角与的斜边与重合，拼成凸四边形 ，与交于点O，为的中点 ，易证 在中，=， 因为，所以 即奇异中位线的长是【总结】本题考查了“奇异中位线”的定义，注意根据题目要求画出合适的图形【习题4】 （2014学年崇明县二模第17题）如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为，我们将p，q称为这个函数的特征数例如二次函数的特征数是，2请
17、根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是2，3，将这个函数的图像先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为_【难度】【答案】6，8【解析】特征数是2，3的二次函数为，即，将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的二次函数为，即， 所以特征数为6，8【总结】本题考查了“特征数”的定义及二次函数图像的平移图1图2【习题5】 （2014学年黄浦区二模第18题）如图1，点P是以r为半径的圆O外一点，点在线段OP上，若满足，则称点是点P关于圆O的反演点如图2，在中，AB = 2，BO = 4，圆O的半径为2，如果点、分别是点A、B关于圆O的反演
18、点，那么的长是_【难度】【答案】【解析】由反演点的定义，可知： ， 则，即，又，可证， ，即，解得：=【总结】本题考查了“反演点”的定义，以及相似三角形的判定与性质【习题6】 正方形，按如图所示的方式放置点，和点，分别在直线（）和x轴上，已知点（1，1），（3，2），则点的坐标是_，点的坐标是_xyO【难度】【答案】（63，32），【解析】由（0，1）、（1，2）， 可求得直线解析式为 可求得（3，4）、（7，4），（7，8）、 （15，8），（15，16）、（31，16）， （31，32）、（63，32）， ， 按照此规律可得【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律课后作业
19、【作业1】 （2014学年浦东新区二模第17题）对于函数，我们称a，b为这个函数的特征数如果一个函数的特征数为2，那么这个函数图像与x轴的交点坐标为_【难度】【答案】（，0）【解析】特征数为2，的函数为，令，解得，所以函数图像与轴的交点坐标为（，0）【总结】本题考查了“特征数”的定义，以及二次函数的图像【作业2】 （2013学年金山区二模第17题）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形成为“倍边三角形”，如果一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为 【难度】【答案】或【解析】当斜边长等于直角边长的两倍时，最小角为30，正切值为；当直角边长等于另
20、一直角边长的两倍时，最小角的正切值为【总结】本题考查了“倍边三角形”的定义，以及锐角三角比的求值【作业3】 已知抛物线p：的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为，我们称以点A为顶点且过点，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线为抛物线p的“梦之星”直线若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是和，则这条抛物线的解析式为_【难度】【答案】【解析】由=可求得：（-1，0）由，可求得：，所以点（1，4），点关于x轴的对称点为（1，-4）那么所求的抛物线顶点为（1，-4）且经过点（-1，0），可求得：即【总结】本题考查了“梦之星”抛物
21、线和“梦之星”直线的定义，以及二次函数的图像与性质求解函数的解析式ABCDOxy【作业4】 （2013学年徐汇区二模第17题）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为_【难度】【答案】【解析】抛物线与轴交点为（-1，0）、（3，0）， 与轴交点为（0，-3）半圆圆心为（1，0）， =2，勾股定理，得：=，所以【总结】本题考查了二次函数的图像以及圆的基本性质【作业5】 （2014学年杨浦区二模第17题）对于平面直角坐标系 xOy中的点P（a，b），若点
22、的坐标为（，）（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”例如：P（1，4）的“2属派生点”为（，），即（3，6）若点P的“k属派生点”的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标：_【难度】【答案】（2，1）【解析】由题意得，整理得：，所以， 只要满足即可，可取点P（2，1）【总结】本题考查了“派生点”的定义，关键是求出的值，答案不唯一ABCDEFGH【作业6】 如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为_【难度】【答案】【解析】第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为， 第三个正方形的边长为2，依次规律，第n个正方形的边长为【总结】本题考查了几何图形背景下线段长度上存在的规律 17 / 18
