1、中考复习几何证明及通过几何证明进行说理问题内容分析较之代数计算类题型，几何证明类题型偏重于利用所学的几何知识进行相关证明和说理，解题中一般是先根据图形间的几何关系，利用全等、相似等性质进行相关的说理和计算例题解析【例1】 如图，二次函数的图像与轴交于点A，且过点B（3，6）（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点关于二次函数对称轴的对称点为点， 试求的正切值；ABCOxyH（3）若在轴上有一点，使得点关于直线的对称点在轴上， 试求点的坐标【解析】（1）将点B（3，6）代入解析式， 可得：，解得：，二次函数解析式为，点A的坐标为（0，2）；（2）由题意，知：C（1，6），过点作于点，
2、；（3）由题意，则的坐标为（0，）或（0，7）设， 若点，由，有，解得：，即； 若点，由，有，解得：，即；综上可知，点的坐标为或【总结】本题主要考察二次函数的综合，相对比较基础，注意相关性质的运用【例2】 已知半圆的直径，点在半圆上，且，点为上一点，联结（1）求的长；（2）若射线交射线于点，且与相似，求的长；（3）联结，当/时，作的平分线交线段于点，求的长ABCDO图1【解析】（1）如图1中，连接AC，AB是直径，ACB = 90，tanABC =，可以假设AC =k，BC = k，AB = 6，AB2 = AC2 + BC2，36 = 8k2 + k2，k2 = 4，k 0，k = 2，BC
3、 = 2；（2）如图2中，与相似，MBC =MCO，MBC +OBC = 180，MCO +OCD =180，OBC =OCD，ABCDO图2MOB = OC = OD，OBC =OCB =OCD =ODC，在和中，BC = CD = 2；（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GHOB于HABCDO图3GNHBC / OD，DOG =OGB =GOB，BO = BG = 3，tanHBG =，设GH =，HB = a，BG2 = GH2 + HB2，8a2 + a2 = 9，a2 = 1，a 0，a = 1，HB = 1，GH =，OH = 2，OG =，GC / DO，ON =【总结
4、】本题在圆的背景下，考查相似三角形的性质与判定及锐角三角比的综合运用【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点.（1）求抛物线的表达式；（2）求证：；（3）若点P是抛物线上的一点，且，求直线CP的表达式.OCBAyx【解析】（1）由题意知 ， 解得：.抛物线的表达式为；（2），；（3）PCB +ACB =BCO，又OCA +ACB =BCO，PCB =OCA，PCB =CBO， 若点P在x轴上方，PCB =CBO，CP / x轴， 直线CP的表达式是；若点P在x轴下方，设CP交x轴于点D（m，0），PCB=CBO，CD=BD， ，.直线CP的表达式为.综上所
5、述，直线CP的表达式为或.【总结】本题以二次函数为背景，考查待定系数求函数解析式、相似三角形的判定与性质的运用，第（3）问中，注意对直线的准确理解【例4】 已知二次函数的图像经过点P（0，1）与Q（2，）（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形求正方形的ABCD的面积；联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：【解析】（1）由题意得：，解得：所以二次函数解析式是：；（2）设，则由四边形ABCD为正方形，得：，解得：（舍负）正方形ABCD的面积为：
6、设AB交y轴于点H.，DOP=AHP，又DPO=PDA，又，【总结】本题以二次函数为背景，考查二次函数与正方形的结合，考查的知识点较多，包含了待定系数法求函数解析式，正方形面积的求法以及相似三角形的判定【例5】 已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，），且OA = 2OC（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求tanMAC的值；（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且CAD = 45，求点D的坐标【解析】（1）C(0，-3)，OC = 3OA = 2OC，OA = 6，点A在点B右侧，抛物线与y轴交点C（0，），代入可得：，（2
7、）过点M作MHx轴于点H，交AC于点N，过点N作NEAM于点E在中，,xyAOCENMH求得直线AC的表达式为： N（2,-2）， 在中，D1D2xyAOCENMH在中,，（3）当D点在AC上方时，又 ， 点在抛物线的对称轴直线上，在中，当D点在AC下方时，又 ，在中，综上所述：，随堂检测【习题1】 如图，已知线段AB = 8，以A为圆心，5为半径作A，点C在A上，过点C作CD / AB交A于点D（点D在点C右侧），联结BC、ADABCD（1）若CD = 6，求四边形ABCD的面积；（2）设CD = x，BC = y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；HDCBA图1（3）设BC的中点为
8、M，AD的中点为N，线段MN交A于点E，联结CE，当CD取何值时，CE / AD【解析】（1）作AHCD，垂足为点H（如图1） CD = 6，AD=5，AH=4；（2）作CPAB，垂足为点P（如图2）PHDCBA图2在中，AHCD，CD= x， 在，ENMFHDCBA图3在，即；（3）设AH交MN于点F,联结AE（如图3） BC的中点为M，AD的中点为N，MN / CDCE / AD，DC = NE = xMN / CD，在和中， 解得： （舍负）即当CD长为时，CE / AD【总结】本题考查了二次函数与圆的综合，包含了垂径定理和勾股定理的综合运用【习题2】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y
9、 = ax2x的对称轴为直线x = 2，顶点为AOyx（1）求抛物线的表达式及顶点A的坐标；（2）点P为抛物线对称轴上一点，联结OA、OP当OAOP时，求OP的长；过点P作OP的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B，联结OB，当OAP=OBP时，求点B的坐标【解析】（1） 抛物线的对称轴为直线x=2， y图1PEAOx 抛物线的表达式为： 顶点A的坐标为（2，1） （2）设对称轴与x轴的交点为E（如图1） 在直角三角形AOE和直角三角形POE中， ， 又OAOP，AE = 1，OE = 2，PE = 4OP= 过点B作AP的垂线，垂足为F （如图2）y图2FBPEAOx设点B（），则，在直角三角形A
10、OE和直角三角形POB中，OE=2，PF=1， 解得：，（不合题意，舍去）点B的坐标是（10，）【总结】本题主要考查了二次函数和锐角三角比的综合运用，解题时注添加适当的辅助线，构造直角三角形课后作业yDCFEOAx【作业1】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（4，0）、B（，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD = t，点E在第二象限，EFOD，垂足为F（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当ECA =OAC时，求t的值【解析】（1）二次函数的图像经过点A（4，0）、B（，0），可得：，解得：二次函数的解析式为：；（2）点
11、D在线段OC上，点E在第二象限，ADE = 90，EFOD，在中，ADE = 90，A（4，0），；（3）由（1）得，点的坐标为（0，8）延长CE交x轴于点G（如图），yDCFEGOA设点G的坐标为（x，0），解得：，由已知，可得点F在线段OD上，又，EF / GO，解得：， 即当ECA =OAC时t的值为6【作业2】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（3，0）， B（，0），C（0，），顶点为D（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得APD = 90，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将沿直线AD翻折，得到，求点Q的坐标【解析】（1）二次函数的图像经过点A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AyDCBOx，解得：二次函数的解析式为：，顶点D的坐标为；（2）设点P的坐标为APD = 90，A(3，0)，解得：，HAyDCBQPOx点P与点C不重合，点P的坐标为（3）解法一：如图，作QHx轴，垂足为点H易得，四边形APDQ为正方形由，得：，由，得：，又，PA = QA， 解法二：设 A(3，0)， 解得：，（不合题意，舍去）， 11 / 11
