1、九年级同步二次函数与圆内容分析在九年级数学上学期第三章中，我们学习了二次函数的相关内容，这部分的知识点是一模考中必考的部分，所有的区县都会针对这部分的知识点进行考察解答题中的主要考察方式是求解二次函数的解析式、二次函数与几何图形相结合的类型（主要是二次函数与相似三角形相结合，这部分内容会在后面的课程中进行讲解）在九年级数学下学期第一章中，我们学习了圆的相关内容，这部分的知识点是一模考中只有教学进度比较快的部分区县会进行考察，包括：长宁区、宝山区、奉贤区、金山区、嘉定区、普陀区和崇明县等解答题中会考察一道关于圆的证明题或者解答题我们整理了近两年解答题中的相关题目，同学们可以有针对性地进行练习知识
2、结构模块一：二次函数考点分析二次函数主要考察二次函数解析式的求法（一般式、交点式、顶点式），二次函数图像的平移，以及二次函数与几何图形相结合的相关题型例题解析【例1】 （2015学年杨浦区一模第20题）已知二次函数的图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x024y11m求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m的值【难度】【答案】【解析】ABCDx013y353【例2】 （2014学年徐汇区一模第19题）已知二次函数（a、b、c为常数，且）经过A、B、C、D四点，其中横坐标与纵坐标的对应值如下表：（1）求二次函数的解析式；（2）求的面积【难度】【答
3、案】【解析】【例3】 （2014学年宝山区一模第21题）已知一个二次函数的图像经过点A（1，0）和点B（0，6），C（4，6），求这个抛物线的表达式以及该抛物线的顶点坐标【难度】【答案】【解析】【例4】 （2014学年闸北区一模第20题）已知二次函数的图像经过点A（0，4）和B（1，）（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为的形式；（2）写出该抛物线顶点C的坐标，并求出的面积【难度】【答案】【解析】ABCOxyx = 2 【例5】 （2014学年普陀区一模第21题）如图，已知二次函数的图像与轴交于点（1，0）和点，与轴交于点（0，6），对称轴为直线，求二次函数的解析式并写出图
4、像最低点的坐标【难度】【答案】【解析】【例6】 （2015学年闵行区一模第19题）如图，已知Rt的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA = 1，OC = 2求经过A、B、C三点的二次函数解析式ABCOxy【难度】【答案】【解析】【例7】 （2015学年虹口区一模第20题）已知一个二次函数的图像经过A（0，）、B（2，）、C（，0）三点（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图像平移，使顶点移到点P(0，)的位置，求所得新抛物线的表达式【难度】【答案】【解析】【例8】 （2015学年徐汇区一模第20题）抛物线经过点（2，1）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线沿
5、轴向下平移后，所得新抛物线与轴交于A、B两点，如果，求新抛物线的表达式【难度】【答案】【解析】【例9】 （2014学年金山区一模第22题）抛物线向右平移个单位得到抛物线，且平移后的抛物线经过点A（2，1）（1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与轴的交点为，顶点为，平移后抛物线的对称轴与轴交于点，求的面积【难度】【答案】【解析】【例10】 （2014学年宝山区一模第20题）已知某二次函数的对称轴平行于y轴，图像顶点为A（1，0）且与y轴交于点B（0，1）（1）求该二次函数的解析式；（2）设C为该二次函数图像上横坐标为2的点，记，试用、表示【难度】【答案】【解析】【例11】 （2015学年
6、静安区一模第24题）如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，二次函数的图像与轴相交于点C，与直线相交于点A、D，CD / x轴，（1）求点C的坐标；xyOABCD（2）求这个二次函数的解析式【难度】【答案】【解析】【例12】 （2015学年嘉定区一模第24题）已知在平面直角坐标系（如图）中，抛物线经过点A（4，0）、点C（0，），点与点关于这条抛物线的对称轴对称（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结、，求的正弦值；（3）点是这条抛物线上的一个动点，设点的横坐标为（），过点作轴的垂线，垂足为，如果，求的值xy11O【难度】【答案】【解析】【例13】 （2015学年崇明县一模第24题）如图
7、，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作PM / BC交射线AC于点M，联结CP，若的面积为2，则请求出点P的坐标OABCxy【难度】【答案】【解析】【例14】 （2014学年宝山区一模第25题）（1）数学小组的单思稿同学认为形如的抛物线，系数、一旦确定，抛物线的形状、大小、位置就不会变化，所以称、为抛物线的特征数，记作请求出与y轴交于点C（0，3）的抛物线在单同学眼中的特征数；（2）同数学小组的尤格星同学喜欢
8、将抛物线设成的顶点式，因此坚持称a、m、k为抛物线的特征数，记作请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数；（3）同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不相同，为了让两人的研究保持一致，同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位后的图像。即此时的特征数无论按单思稿同学还是按尤格星同学的理解做出的结果是一样的，请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；（4）在直角坐标系xOy中，上述（1）中的抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），请直接写出的重心坐标【难度】【答案】【解析】模块二：圆考点分析解答题中，圆这一部分主要考察圆的圆心角、弧、弦、弦心距四者的关系，垂径定
9、理及其推论、以及直线与圆、圆与圆的位置关系当然，还有圆与其他图形（三角形、四边形）、其他知识（锐角三角比、相似三角形、二次函数）相结合的题目例题解析【例15】 （2014学年长宁区一模第21题）如图，AB是的弦，点C、D在弦AB上，且AD = BC，联结OC、ODABCDO求证：是等腰三角形【难度】【答案】【解析】ACDBEO【例16】 （2015学年宝山区一模第22题）如图，以AB为直径的与弦CD相交于点E，若AC =，AE = 3，CE =求弧BD的长度（保留）【难度】【答案】【解析】【例17】 （2015学年奉贤区一模第22题）如图，在中，AB为直径，点B为的中点，CD =，AE = 5
10、（1）求半径r的值； OABCDE（2）点F在直径AB上，联结CF，当时，求AF的长【难度】【答案】【解析】【例18】 （2014学年奉贤区一模第20题）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，AB = 24 m，DE是水位线，DE / AB（1）当水位线m时，求此时的水深；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8 m时，求此时的余切值EDCOBA【难度】【答案】【解析】【例19】 （2015学年长宁区、金山区一模第22题）如图，点在直径延长线上，切于点，联结、ABCDO（1）求的正切值；（2）若的半径，求的长度【难度】【答案】【解析】【例20】 （2015学年嘉定区一模第2
11、1题）已知，如图，点、在上，且点是的中点，当cm，时：ABCO（1）求的面积；（2）联结，求弦的长【难度】【答案】【解析】ABCDOPNM【例21】 （2014学年宝山区一模第23题）如图，P为的直径MN上一点，过P作弦AC、BD使，求证PA = PB【难度】【答案】【解析】【例22】 （2014学年金山区一模第23题）如图，已知与外离，与分别是与的半径，OC /直线交于点，交于点，交于点OPABCDO1求证：（1）/；（2）【难度】【答案】【解析】【例23】 （2014学年宝山区一模第25题）如图，在中，点、分别在边、上（点不与点、重合）/把沿直线翻折，点与点重合，设（1）求的余切值；（2）
12、当点在的外部时，、分别交于、，若，求关于的函数关系式并写出定义域；AECBF（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以为圆心、长为半径的与边 没有公共点时，求的取值范围； 一个公共点时，求的取值范围； 两个公共点时，求的取值范围【难度】【答案】【解析】【例24】 （2014学年奉贤区一模第25题）已知：矩形ABCD中，过点B作交AC于点E，分别交射线AD于F点、交射线CD于G点，BC = 6（1）当点F为AD中点时，求AB的长；（2）联结AG，设AB = x，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；ABDGCEF（3）是否存在x的值，使以D为圆心的圆与BC、BG都相切？若存在，求出x的值
13、；若不存在，请说明理由【难度】【答案】【解析】随堂检测【习题1】 （2015学年浦东新区一模第20题）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表：xy（1）求此二次函数的解析式；（2）写出抛物线顶点坐标和对称轴【难度】【答案】【解析】【习题2】 （2015学年浦东新区一模第20题）在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、A（，）与B（1，）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标【难度】【答案】【解析】【习题3】 （2014学年浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模第19题）已知：在直角坐标平面内，抛物线经过x轴上两点A、B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C求：（
14、1）抛物线的表达式；（2）的面积【难度】【答案】【解析】【习题4】 （2015学年黄浦区一模第21题）已知抛物线如图所示，请结合图像中所给信息完成以下问题：（1）求抛物线的表达式；1xyO1234（2）若该抛物线经过一次平移后过原点，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的新抛物线的表达式【难度】【答案】【解析】【习题5】 （2015学年闵行区一模第20题）已知：如图，在中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果，且BE = 2，求弦CD的长OABCDE【难度】【答案】【解析】【习题6】 （2014学年黄浦区一模第21题）已知：如图，的半径为5，P为外一点，PB、PD与分别交于点A、B和点C、D
15、，且PO平分OPABCD（1）求证：；（2）当PA = 1，时，求弦AB的长【难度】【答案】【解析】【习题7】 （2014学年浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模第24题）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像经过点（1，）和点（，5）（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图像向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图像顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分，求m的值xy11O【难度】【答案】【解析】【习题8】 （2014学年长宁区一模第24题）如图，已知直角坐标平面上的，AC = CB，且
16、A（，0），B（m，n），C（3，0）若抛物线经过A、C两点（1）求a、b的值；（2）将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式；ABCOxy11（3）设（2）中的新抛物线的顶点为P点，Q为新抛物线上P 点至B点之间的一点，以点Q为圆心画圆，当与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形ABQP的面积【难度】【答案】【解析】课后作业【作业1】 （2014学年虹口区一模第20题）已知二次函数图像上部分点的坐标（x，y）满足下表：x01y32（1）求该二次函数的解析式；（2）用配方法求出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴【难度】【答案】【解析】【作业2】 （201
17、4学年嘉定区一模第20题）已知二次函数的图像经过点（2，）和（，2），求这个二次函数的解析式，并求出它的图像的顶点坐标和对称轴【难度】【答案】【解析】【作业3】 （2015学年普陀区一模第20题）将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移m（m 0）个单位，所得新抛物线经过点（，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标【难度】【答案】【解析】【作业4】 （2015学年闸北区一模第20题）已知二次函数的图像的顶点在原点O，且经过点A（1，）（1）求此函数的解析式；（2）将该抛物线沿着y轴向上平移后顶点落在点P处，直线x = 2分别交原抛物和新抛物线于点M和N，且，求：MN的长以及平移后抛物
18、线的解析式【难度】【答案】【解析】ABCDEO【作业5】 （2015学年普陀区一模第21题）如图，已知AD是的直径，AB、BC是的弦，垂足是点E，求的半径长和的值【难度】【答案】【解析】ABCDONM【作业6】 （2014学年嘉定区一模第21题）如图，已知是圆的直径，弦与相交于点，垂足为点（1）求的长；（2）求弦的长【难度】【答案】【解析】【作业7】 （2014学年黄浦区一模第24题）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线向下平移使之经过点A（8，0），平移后的抛物线交y轴于点B（1）求的正切值；（2）点C在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，联结CA、CB，求的面积；xyO（3）点D在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结DA、DB，当时，求点D坐标【难度】【答案】【解析】【作业8】 （2015学年嘉定区一模第24题）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（8，0），点在轴的正半轴上，且，抛物线经过、两点（1）求、的值；（2）过点作，交这个抛物线于点，以点为圆心，为半径长的圆记作圆，以点为圆心，为半径长的圆记作圆若圆与圆外切，求的值；xyOAB（3）若点在这个抛物线上，的面积是面积的8倍，求点的坐标【难度】【答案】【解析】 17 / 18
