1、九年级同步圆的补充练习及正多边形与圆内容分析本讲一方面对前两讲的内容补充了一些练习，另一方面讲解了正多边形与圆的相关知识，重点是正多边形与圆的相关概念的理解，中心角和边心距的计算知识结构模块一：圆的基本性质补充练习知识精讲1、 圆的相关概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形圆心：以上概念中的“定点”；以点O为圆心的圆称为“圆O”，记作半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角；弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：
2、小于半圆的弧叫做劣弧弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距等弧：能够重合的两条弧称为等弧等圆：半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆2、 点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则有以下结论：点P在圆外d R；点P在圆上d = R；点P在圆内3、 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆三角形的三个顶点确定一个圆经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这
3、个圆的内接多边形4、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等5、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等6、 垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧7、 垂径定理的相关结论（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦（3）如果一
4、条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立例题解析【例1】 在平面直角坐标系内，的半径为5，圆心P的坐标为（1，2），分别判断点A（2，），B（，6），C（1，）与的位置关系【难度】【答案】【解析】【例2】 下列判断中，正确的是（ ）A平分一条弦多对的弧的直线必垂
5、直于这条弦B不与直径垂直的弦不能被该直径平分C互相平分的两条弦必定是圆的两条直径D同圆中，相等的弦所对的弧也相等【难度】【答案】【解析】【例3】 如图，C是以AB为直径的半圆弧上一点，已知所对的圆心角为120，BC的弦心距与直径AB的比为（ ）ABCD【难度】【答案】【解析】ABCO【例4】 如图，AB是直径，E是弦CD中点，若，则_，_【难度】【答案】【解析】ABCDOP【例5】 如图，OA、OB是的两条半径，P是的中点，点C是OA的中点，点D是OB的中点求证：PC = PD【难度】【答案】【解析】【例6】 如图，AB是的直径，CB是弦，于E，交于D，联结ACABCDEO（1）请写出两个正确
6、结论；（2）若CB = 8，ED = 2，求的半径【难度】【答案】【解析】【例7】 如图，的直径AB和弦CD相交于点E，若AE = 2厘米，BE = 6厘米，求：（1）CD的长；OABCDE（2）点C到AB的距离与点D到AB的距离之比【难度】【答案】【解析】ONMABCD【例8】 如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA = 3，AC = 2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N（1）求线段OD的长；（2）若，求弦MN的长【难度】【答案】【解析】ABCDEO【例9】 如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，求的值【难度】【
7、答案】【解析】ABCO【例10】 如图，某休闲公园有一圆形人工湖，湖中心O处有一喷泉小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个观测点，在A处测得，在AB延长线上C处测得若，BC = 50米，求人工湖的半径【难度】【答案】【解析】模块二：直线与圆、圆与圆的位置关系补充练习知识精讲1、 直线与圆的位置关系：相离、相切、相交如果的半径长为R，圆心O到直线l的距离为d，那么：直线l与相交；直线l与相切；直线l与相离2、 切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线3、 相关概念圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线4、 圆与圆的位置关系：外离、外切
8、、相交、内切、内含如果两圆的半径长分别为和，圆心距为d，那么：两圆外离；两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含5、 相关定理（1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦（2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点例题解析【例11】 下列直线中，必为切线的是（ ）A与圆有公共点的直线B到圆心距离等于半径的直线C垂直于圆的半径的直线D过圆的半径外端的直线【难度】【答案】【解析】【例12】 正方形ABCD中，AB = 1，分别以A、C为圆心作两个半径为R、r（R r）的圆，当与有两个交点，R、r满足的条件是（ ）A
9、BCD【难度】【答案】【解析】【例13】 已知两圆的半径分别为2和5，当两圆相切时，圆心距为_【难度】【答案】【解析】【例14】 的半径为6，的一条弦AB长为，以3为半径的同心圆与AB的关系是_【难度】【答案】【解析】【例15】 两圆有多种位置关系，如图中不存在的位置关系是_【难度】【答案】【解析】【例16】 设圆心O到直线l的距离为d，半径为R，当d、R是方程的两个根，则直线与圆的位置关系是_；当d、R是方程的两个根，且直线与圆相切，则m =_【难度】【答案】【解析】【例17】 已知A点为（0，3），的半径为1，点B在x轴上（1）若B点为（4，0），半径为3，试判断与的位置关系；（2）若过点
10、M（2，0），且与相切，求B点的坐标【难度】【答案】【解析】【例18】 已知与相切，两圆的圆心距为9厘米，的半径为4厘米，求的半径【难度】【答案】【解析】【例19】 如图，的直径为，的直径为，的直径为2，和外切，和外切，求BC的长度及的正弦值ABC【难度】【答案】【解析】【例20】 如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，并且以10千米/时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域（1）A市是否会受到台风的影响？并说明理由；（2）如果A市受这次台风的影响，那么受台风影响的时间有多长？ABF东北【难度】【答案】【解析】ABCDOP【例21】
11、 如图，AD交BC于P，作使其与AB相切试问：以AB为直径作出的与是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明【难度】【答案】【解析】【例22】 如图，已知，的半径为2，圆心O在射线BC上，与射线BA相交于E、F两点，（1）求BO的长；ABCDEFGO（2）点P在射线BC上，以点P为圆心作圆，使得同时与和射线BA相切，求所有满足条件的的半径【难度】【答案】【解析】模块三：正多边形与圆知识精讲1、 正多边形各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形2、 正n边形的对称性正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n当n为偶数时，正n边形是中心对称图形
12、，对称中心是它的两条对称轴的交点3、 正多边形的外接圆和内切圆任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角例题解析【例23】 正十边形有_条对称轴，它不仅是_对称图形，还是_对称图形，它的中心角是_【难度】【答案】【解析】【例24】 圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则的度数是_【难度】【答案】【解析】【例25】 下列命题中，假命题是（ ）
13、A各边相等的圆内接多边形是正多边形B正多边形的任意两个角的平分线如果相交，则交点为正多边形的中心C正多边形的任意两条边的中垂线如果相交，则交点为正多边形的中心D一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形【难度】【答案】【解析】【例26】 如图，已知正六边形ABCDEF的半径为a，中心为O，求它的周长和面积ABCDEFO【难度】【答案】【解析】【例27】 正三角形的边心距、半径和高的比是_【难度】【答案】【解析】【例28】 正多边形的面积是240平方厘米，周长是60厘米，则边心距是_厘米【难度】【答案】【解析】【例29】 如图，已知等边的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积ABCDE
14、FGO【难度】【答案】【解析】【例30】 如图，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于点MABCDE（1）求证：四边形CDEM是菱形；（2）设，若AB = 4，求BE的长【难度】【答案】【解析】随堂检测【习题1】 两个等圆只有一个公共点，则这两圆的位置关系可以是（ ）A相离B外切C相交D内切【难度】【答案】【解析】【习题2】 已知圆O的弦AB = 10，相应的弦心距OC = 3，则圆O的半径等于_【难度】【答案】【解析】【习题3】 下列语句中，正确的个数是（ ）直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则外接圆半径为；已知两圆的直径为10厘米，6厘米，圆心距为16厘米，则两圆外切；过三点可以确
15、定一个圆；两圆的公共弦垂直平分连心线A0个B1个C2个D3个【难度】【答案】【解析】【习题4】 一个正六边形和一个正三角形的周长相等，则它们的面积之比是_【难度】【答案】【解析】【习题5】 在中，BC = 6，以A为圆心，当半径多长时所作的与BC相切、相交、相离【难度】【答案】【解析】ABCDEONM【习题6】 如图，在中，弦AB、CD相交于E，OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距（1）如果OM = ON，求证：；（2）如果，求证：EO平分【难度】【答案】【解析】【习题7】 如图，P是的直径AB延长线上的一点，PC与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点D，联结PD（1）求证：PC = PD；
16、（2）如果PE的长等于的半径OC，求证：ABCDEOP【难度】【答案】【解析】80厘米20厘米【习题8】 某小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80厘米，水面到管道顶部距离为20厘米修理工应准备内直径为多少厘米的管道？【难度】【答案】【解析】【习题9】 如图，已知和相交于A、B两点，若，且，求AB的长ABC【难度】【答案】【解析】【习题10】 如图1，已知中，BC = 5过点A作，且AE = 15，连接BE交AC于点P（1）求PA的长；（2）以点A为圆心，AP为半径作，试判断BE与是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C作，垂足为点D以点A为圆心，r为半径作；
17、以点C为圆心，R为半径作若r和R的大小可变化，并且在变化过程中保持和相切，且使D点在的内部，B点在的外部，求r和R的变化范围ABCDEPABCEP图1图2【难度】【答案】【解析】课后作业【作业1】 下列说法正确的是（ ）A平分弦的直径垂直于弦B相等的圆心角所对的弧相等C弦的垂直平分线经过圆心且平分弦所对的弧D半径都相等【难度】【答案】【解析】【作业2】 正九边形的中心角等于_【难度】【答案】【解析】【作业3】 等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的_倍【难度】【答案】【解析】ABCDEFO【作业4】 如图，中，AB是直径，CD与AB交于点E，OF = 2厘米，ED = 3厘米，则CD =_厘米
18、【难度】【答案】【解析】【作业5】 在中，若OA = OB = 2，的半径为1，当的度数在何范围内，直线AB与相切、相交、相离【难度】【答案】【解析】OABCD【作业6】 如图，AB是的弦，点D是的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线与点C求证：AD = DC【难度】【答案】【解析】ABCDEFO【作业7】 如图，已知的半径为5，弦AB的长等于8，于点D，DO的延长线与相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与相交于点F，求：（1）CD的长；（2）EF的长【难度】【答案】【解析】【作业8】 如图，等腰内接于半径为5厘米的，AB = AC，求：ABCO（1）BC的长；（2）AB边上高的长【难度】【答案】【解析】【作业9】 AB是的直径，点P在BA的延长线上，弦于点E，PC是切线，若OE : OA = 1 : 2，PA = 6，求：（1）的半径（2）的值【难度】【答案】【解析】【作业10】 如图，已知AB = 2，AD = 4，AD / BC点E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点（1）设BE = x，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；ABCDEM（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长【难度】【答案】【解析】 17 / 18
