1、专业 引领 共成长 基本几何图形模块一： 几何图形计数问题模块一： 容斥原理知识精讲知识精讲几何图形计数问题能正确计算形体的个数，应做到计数时不重不漏，有条理、有次序地计数。计算个数常用的方法有逐个计数法、分类计数法、直接计数法和间接计数法。 经典例题【例1】右图中共有多少条线段？答案：6解析：方法一：从左向右，以一个点为起点，数出含这点线段的条数，再相加 方法二：先确定基本线段的个数，如AC，CD，DB，再数含两条基本线段的条数，含三条基本线段的条数，分类进行统计【例2】下图中，线段上有A1，A2，A100共100个点，问图中共有多少条线段？ 答案：99+98+97+1=4950解析：同上【
2、例3】右图中共有多少条线段？答案：13解析：如果一条线段上有4个端点，那么就有432=6条，5个端点那就是542=10条，6个端点那就是652=15条，以此类推【例4】右图中共有多少条线段？答案：25解析：同例3【例5】某列火车从大连到北京，除起点、终点外，还要停靠6个站，问乘这列火车共有多少种不同的乘车线路？答案：28解析：方法一：从左向右，以一个点为起点，数出含这点的路线的条数，再相加方法二：共8个点，任取两个点就可以构成一个乘车路线，872=28【例6】图中共有多少个角？答案：12解析：含一个 角的4个，含两个角的4个，含3个角的也是4个，加起来（周角不算）【例7】如下图所示，三角形AB
3、C中有几个角？答案：7（平角不算）【例8】下图中一共有多少个三角形？答案：21解析：方法一：从左向右，以一条线段为起点，数出含这条线段的角的个数，再相加 方法二：以A点为起点的线段有7条，任取两条就可以构成一个角762=21个【例9】下图中一共有多少个三角形？答案：60解析：同上【例10】下图中一共有多少个三角形？答案：12解析：分别数出含1个、2个、3个、5个小三角形的三角形然后加起来【例11】如图所示，正方形上有5个点：A、B、C、D、E，以其中的任意3点为顶点，可以组成多少个三角形？答案：9 解析：任取3个点有10种取法，减去1种不能构成三角形的情况是9种【例12】下图中一共有多少个正方
4、形（图中每个小格均为正方形）？答案：14【例13】下图中的长方形、正方形分别被平均分成了若干个相同的小正方形，问两个图形中各有多少个正方形？答案：56， 55解析：的网格中，正方形的个数【例14】数一数，右图一共有多少个正方体？答案：20解析：分别数出含1个小正方体、8个小正方体的个数，然后加起来随堂检测【习题1】下图中共有多少条线段？答案：12解析：同例3【习题2】下图中共有多少条线段？答案：48解析：同例3【习题3】下图中共有多少条线段？答案：107如果一条线段上有4个端点，那么就有432=6条，5个端点那就是542=10条，6个端点那就是652=15条，以此类推【习题4】下图中共有多少条
5、线段？答案：27解析：同上【习题5】下图中共有多少条线段？答案：44解析：同上【习题6】下图是5条相交直线，问图中有多少条直线、多少条射线、多少条线段？（注：直线没有端点，射线只有一个端点，线段有两个端点）答案：5， 24， 9【习题7】如下图所示，有一正方体铁丝架，用铁丝将侧面各棱的中点连接，问这个正方形铁丝架上共有多少条线段？答案：60【习题8】如下图所示，图中共有多少条线段？答案：84解析：有3条线段含7个端点，每条线段21条，321=63，有7条线段3个端点，每条线段3条，73=21， 63+21=84【习题9】下图中有几个角？答案：17（平角不算）【习题10】下图中有多少个三角形？答
6、案：15解析：分别数出含1个小三角形、2个、3个、4个、6个的三角形，然后加起来【习题11】下图中有多少个三角形？多少个正方形？多少个长方形？答案：2， 9， 27【习题12】右图中共有多少个三角形？答案：44分别数出含1个、2个、4个、8个小三角形的三角形，然后加起来【习题13】两条直线相交可得一个交点，在同一平面上，6条直线最多可得多少个交点？答案：15解析：2条1个，3条3个，4条6个，n条条.【习题14】下图中共有多少个长方形？答案：150解析：在长和宽上任取一条线段就可以构成一个长方形，宽有10条线段，长有15条线段，1015=150【习题15】右图中有多少条线段？多少个三角形？答案
7、：59条，10个【习题16】下图中共有多少个正方形？答案：105【习题17】以右图中的8个点中的3个为顶点，共可以画出多少个不同的三角形？答案：42解析：在下面一条边上任取两个点有10种方法，再在上面一条边上任取一点（顶点除外）有3种方法，三个点构成三角形有103=30；再在上面一条边上取两个点（顶点除外）有3种方法，再在下面取一个点有4个方法（顶点除外），构成12个三角形，总共30+12=42【习题18】找出图中从A点出发，经过C点和D点的最短路线，共有多少条？答案：610=60解析：从A到C的最短路线有6条，从C到D的最短路线有10条，610=60*【习题19】数数图中共有多少个三角形？答
8、案：170解析：分别算出以第一行、第二行、第三行、第八行为边的的三角形，然后加起来。（注意：朝上的三角形和朝下的三角形）模块二： 角度问题知识精讲1、三角形的内角和 三角形的内角和等于180；（ 一个三角形的三个内角中最多有一个钝角或直角。）2、余角补角问题1）如果两个角的度数的和是90度，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。其中一个角叫做另一个角的余角。2）如果两个角的度数的和是180度，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。其中一个角叫做另一个角的补角。3）同角（或等角）的余角相等；4）同角（或等角）的补角相等；经典例题【例1】已知1、2、3是三角形中的三个内角，290 1=60，求3是多少
9、度？这个三角形是什么三角形？2是3的几倍？答案：30，直角三角形，3倍【例2】已知1、2、3是三角形中的三个内角，2+1=3，求3是多少度？如果3是1的2倍，则1，2分别是多少度？这个三角形是什么三角形？答案：90，分别为45、45，等腰直角三角形【例3】已知等腰三角形的一个角是38，它的一个底角是多少度?答案：38或71【例4】如右图，已知160，425，求3的度数答案：55【例5】如图，1=70，2=45，3=28，则4=（ ）5=（ ）答案：37，73【例6】已知ABC的三个内角的度数之比A：B：C=1：3：5，则B=（ ），C=（ ）.答案：60，100例题解析【例7】如图：在ABC中
10、，A=C=ABC， BD是角平分线，求A及BDC的度数.答案：36，72【例8】发现规律：A、三角形的内角和是：（ ）；B、正方形的内角和是：（ ）、长方形的内角和是：（ ）、平行四边形的内角和是：（ ）、梯形的内角和是：（ ）；C、五边形的内角和是：（ ）；D、六边形的内角和是：（ ）；你发现了什么规律？（提示：将多边形分割成几个三角形。）答案：180，360，360，360，360，540，720【例9】若一个角的余角与这个角的补角之比是27，求这个角的邻补角答案：126【例10】一个角的补角比它的2倍大30，求这个角.答案：50【例11】如图，已知点O是直线AD上的点，AOB，BOC，C
11、OD三个角从小到大依次相差25，求这三个角的度数。 答案：35，60，85【例12】一个角的余角比它的补角还多，求这个角。答案：63随堂检测【习题1】在一个等腰三角形中，已知一个底角为65，求顶角？ 答案：50【习题2】在一个等腰三角形中，已知一个角为68，求另两个角？ 答案：68、44或56、56【习题3】已知：如图258，337，455，求1的度数?答案：150 【习题4】在三角形ABC中，已知A2C，B2C，求A、B、C？答案：72、72、36ABCDO【习题5】如图，AOC与BOD都是90，且AOB：AOD=2：11，求AOB与BOC的度数答案： 20、70【习题6】一个角的补角的余角
12、等于这个角的，求这个角的度数答案：150【习题7】一个角的补角减去20后，等于这个角的余角的2倍，求这个角的度数。答案：20【习题8】如图所示，已知射线OE平分BOC，射线OD平分AOB （1）若AOC=90，求DOE的度数； （2）若AOC=50，求DOE的度数； （3）若AOC=x，求DOE的度数答案：（1）45 ；（2）25；（3）【习题9】如图,在ABC中,D是BC边上一点,1=2,3=4,BAC=63,求DAC的度数.答案：24课后作业一、图形计数1. 沿图1所示的方向，从M到N共有_种不同的走法。答案：92. 以图2七边形中的任意3个顶点为顶点的三角形一共有_个。答案：353. 图
13、3是由24个小长方形组成的立方体图形，其中由2个小长方体组成的长方体有_个。答案：454. 如图4，在连接正六边形的3个顶点而成的三角形中，与正六边形有公共边的三角形有_个。答案：185. 如图5中，有_个正方形。答案：236. 如图6，由A地到B地，若规定只能往右或往下走，共有_种不同的路线。答案：237. 如图7中4个等圆的圆心连线正好是正方形。图7有（ ）条对称轴。A.1B.2C.3D.4答案：D8. 平面上10条直线相交，最多能有（ ）个交点。A.10B.20C.45D.55答案：C9. 如图8中，含有A的长方形共有（ ）个。A.16B.15C.14D.13答案：A10. 如图9中，平
14、行四边形的个数有（ ）个。A.49 B.51 C.53 D.55答案：B11. 如图10是一个长方形，四周边上每隔2米有一点，共14个点，以这些点为顶点的三角形中，面积为12平方米的三角形有（ ）个。A.36 B.28 C.46 D.41答案：C12.如图11，用125块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体，那么，露在表面上的黑色正方体的个数有（ ）个。A.74B.76C.50D.56答案：C13.如图12中有A、B、C、D、E、F、G这7个点，以这7个点中的4个为顶点，可以画出多少个不同的四边形？答案：23解析：任取4个点有35种方法，35-12=2314.如图13所示的七
15、巧板中，用包含的两块可以拼成若干个不同的梯形，请画图表示不同的拼法。答案：共都可以15.如图14，大三角形由9个形状相同的等边三角形组成，共有10个顶点。以这些顶点构成的三角形中，面积与阴影部分面积相等的三角形共有多少个？答案：3616.如图15是由49根火柴棒搭成的图形。（1）这个图形中共有大大小小的正方形多少个？（2）至少要拿掉多少根火柴棒，才能使图形中没有正方形？请画出拿掉火柴棒后的图形。答案：（1）40个；（2）略二、角度问题1、在ABC中，已知ABC=66，ACB=54，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，则ABE、ACF、BHC的度数分别为_.答案：30，30
16、，120 2、如图所示，在ABC中，B=C，BAD=40，并且 ADE=AED，则CDE=_ 答案：203、如图5，将纸片ABC沿DE折叠，点A落在ABC的形内，已知1+2=102，则A的大小等于_度答案：514、若1+2=90，3+2=90，1=40，则3=_，依据是_答案：50，同角的余角相等5、如果=n，而既有余角，也有补角，那么n的取值范围是_.答案：0 n 906、如图，甲从A点出发向北偏东70方向走50m至点B，乙从A出发向南偏西15方向走80m至点C，则BAC的度数是_.答案：1257、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边的F处，若BAF=60，则DAE等于_.答案：158、如图，在锐角ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，且CD、BE交于一点P，若A=50，则BPC的度数是_. 答案：1159、如果一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角答案：4510、一个角的余角比它的补角的 还少40，求这个角答案：3011、如图，O是直线AB上一点，AOE=FOD=90,OB平分COD，图中与DOE互余的角有哪些？与DOE互补的角有哪些？ 答案：互余 互补13 / 13
