1、九年级同步三角形一边的平行线（二）内容分析三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备知识结构模块一：三角形一边的平行线判定定理及推论知识精讲1、 三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边2、 三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第
2、三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边ABCDEABCDEABCDE如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么/例题解析【例1】 在中，点、分别在边、上，根据下列条件，试判断与是否平行（1），；（2），；（3），；（4），【难度】【答案】【解析】【例2】 如图，则ABCNM【难度】【答案】【解析】ABPNM【例3】 如图，中，点、分别在和的延长线上，且，则【难度】【答案】【解析】【例4】 如图，中，点在边上，点在边上，下列命题中不正确的是（ ）ABCEFA若/，则 B若，则/C若/，则D若，则/【难度】【答案】【解析】【例5】 如图，点、在的边上，点在边上，且
3、/，ABCDEF求证：/【难度】【答案】【解析】【例6】 如图，四边形中，、相交于点，若，求的长ABCDO【难度】【答案】【解析】【例7】 点、分别在的边、上，如果，能否得到/，为什么？【难度】【答案】【解析】ABCDEFM【例8】 如图，为的中点，/，联结、分别交、于点和点求证：/【难度】【答案】【解析】【例9】 如图，/，且ABCDPNM求证：/【难度】【答案】【解析】【例10】 如图，、是的边上的两点，满足联结，过点作/，交边于点，联结ABCDEF求证：/【难度】【答案】【解析】ABCABCO【例11】 如图，/，/求证：/【难度】【答案】【解析】ABCABCO【例12】 将上题中的四边
4、形绕点旋转得下图，而其他已知条件不变，结论还成立吗？【难度】【答案】【解析】【例13】 点、分别在的边、上，且/，以为一边作平行四边形，延长、交于点，连接，求证：/ABCDEFGH【难度】【答案】【解析】【例14】 如图，在菱形中，点、分别在边、上，与交于点，又ABCDEFG求证：四边形是平行四边形【难度】【答案】【解析】【例15】 如图，、分别是四边形各边的点，且，连接、相交于点ABCDEFOGH求证：【难度】【答案】【解析】ADBCEFPQ【例16】 如图，在梯形中，/，、分别是、的中点，且交于，交于，求的长 【难度】【答案】【解析】ABCDEFGk【例17】 如图，点是的重心，过点作直线
5、k，交于点，交于点求证：【难度】【答案】【解析】模块二：平行线分线段成比例定理知识精讲1、 平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例如图，直线/，直线与直线被直线、所截，那么BCDEFG2、 平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等例题解析BCADEF【例18】 如图，/，求、的长【难度】【答案】【解析】CBADEF【例19】 如图，直线、分别交直线于点、，交直线于点、，且/已知，求、的长【难度】【答案】【解析】【例20】 命题“梯形中，/，点、在、上，且，则/”是（选填“真”或“假”）命题【
6、难度】【答案】【解析】【例21】 如图，中，四边形为内接正方形，则ABCDEF【难度】【答案】【解析】abc【例22】 已知线段、，求作线段，使【难度】【答案】【解析】【例23】 如图，已知线段，在线段上求作一点，使得AB【难度】【答案】【解析】【例24】 如图，中，点是三角形的重心，（1）求的长；（2）过点的直线/，交于点，交于点，求的长ABCNMG【难度】【答案】【解析】ABDCEF【例25】 如图，是线段上一点，且，交于点，求的值【难度】【答案】【解析】【例26】 如图，、都垂直于直线，求的长ABCDEFl【难度】【答案】【解析】【例27】 如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的
7、延长线交于点，/，且过点与、分别交于点和点求证：ABCDEOPQM（1）；（2）/【难度】【答案】【解析】【例28】 如图，在等腰梯形中，/，两对角线和相交于点，过点作/，且，若，求梯形中位线的长ABCDEFO【难度】【答案】【解析】【例29】 如图，已知点、和点、分别是两边上的点，且/，/求证：/ABCDEFO【难度】【答案】【解析】【例30】 如图，、分别是两边、的中点，是上任一点，延长、交、于、，求的值ABCPNMHK【难度】【答案】【解析】【例31】 如图，矩形中，、相交于点，于点（1）连接交于点，作于点，求证：点是线段的一个三等分点；（2）请你仿照（1）的作法，在原图上作出的一个四等
8、分点（要求保留作图痕迹，可不写作法及证明过程）【难度】ABCDEFGO【答案】【解析】【例32】 如图，中，是边上的一个动点，过点作/与相交于点，连接，设线段的长为，的面积为（1）求与之间的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）是否存在一个位置的点，使的面积等于的面积的？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由ABCDP【难度】【答案】【解析】随堂检测ABCDE【习题1】 如图，中，点、分别在边、上，已知，由此判断和的位置关系是，理由是【难度】 【答案】【解析】【习题2】 中，直线交于点，交于点，以下能推出/的条件是（ ）A，B，C，D，【难度】 【答案】【解析】【习题3】 在中，点、分别在
9、边和上，要使/，则【难度】 【答案】【解析】【习题4】 如图，中，/，求证：/ABCDEF【难度】【答案】【解析】【习题5】 如图，已知/，它们依次交直线、于点、和点、（1）如果，求的长；（2）如果，求、的长【难度】ABCDEF【答案】【解析】【习题6】 如图，平行四边形中，、相交于点，的延长线交的延长线于点，求【难度】ABCDEFO【答案】【解析】【习题7】 如图，在中，点、分别在、上，且/，为的中点，、的延长线分别交、的延长线于点、点，连接，求证：/ABCDEFGH【难度】【答案】【解析】【习题8】 如图1，在菱形中，点是边上的一点，联结交于，过作/交于，可以证明结论成立（不必证明）（1）
10、如图2，上述条件中，若点在的延长线上，其他条件不变时，结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）在（1）的条件下，若已知，求线段与的长ABCDFGHABCDFGH图1图2【难度】【答案】【解析】【习题9】 如图，矩形中，对角线、相交于点，在线段上取一点，过点作的平行线交于点，连接，并延长交于点，连接（1）求证：/；（2）设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出它的定义域ABCDEFOP【难度】【答案】【解析】课后作业【作业1】 在的一边上顺次有、两点，在另一边上顺次有、两点，又下列条件能判断的个数是（ ）（1），；（2），；（3），；（4），A1个B2个C3个D4个【
11、难度】 【答案】【解析】【作业2】 中，点和点分别在、上，且，则【难度】【答案】【解析】【作业3】 已知点、分别是的边、的反向延长线上的点，如果，当为何值时，？【难度】【答案】【解析】ABCDEF【作业4】 如图，在中，点、分别在、上，且，求证：/【难度】【答案】【解析】【作业5】 如图，在梯形中，/，两对角线和相交于点，且分别与相交于点、，下列比例式中正确的是（ ）ABCDEFONMABCD【难度】【答案】【解析】【作业6】 如图，/，则不成立的是（ ）ABCDEFGABCD【难度】【答案】【解析】【作业7】 如图，直线/，若，求线段与的长ABCDEFG【难度】【答案】【解析】【作业8】 如
12、图，已知线段，在线段上求作一点，使得AB【难度】【答案】【解析】【作业9】 梯形中，点在上，点在上，且，（1） 如图（a），如果点、分别为、的中点，求证：/且；（2） 如图（b），如果，判断和是否平行，并证明你的结论，并用、的代数式表示ABCDEFABCDEF【难度】【答案】【解析】【作业10】 已知/，点、为直线上的两动点，（1）当点、重合，即时（如图1），试求；（用含、的代数式表示）（2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当、不重合，即，如图2这种情况时，试求；（用含、的代数式表示）如图3这种情况时，试猜想与、之间有何种数量关系？并证明你的猜想FEA(D)BCNMBCNMBCNMADEFADEF【难度】【答案】【解析】 17 / 18
