1、专题31 几何综合压轴问题（40题）1（2023四川自贡统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，分别是斜边，的中点，(1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；(2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长2（2023山东烟台统考中考真题）如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且在线段上取一点，使，连接(1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长3（2023浙江绍兴统考中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且(1)如图1，求边上的高的长(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点如
2、图2，当点落在射线上时，求的长当是直角三角形时，求的长4（2023甘肃武威统考中考真题）【模型建立】（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上求证：；用等式写出线段，的数量关系，并说明理由【模型应用】（2）如图2，是直角三角形，垂足为，点关于的对称点在边上用等式写出线段，的数量关系，并说明理由【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若，求的值5（2023江西统考中考真题）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出
3、了“已知”和“求证”，请你完成证明过程己知：在中，对角线，垂足为求证：是菱形(2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，求证：是菱形；延长至点，连接交于点，若，求的值6（2023湖北随州统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中处从“直角”和“等边”中选择填空，处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大
4、于第三边”中选择填空，处填写角度数，处填写该三角形的某个顶点）当的三个内角均小于时，如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，由，可知为 三角形，故，又，故，由 可知，当B，P，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点如图3，若，则该三角形的“费马点”为 点(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/
5、，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为_元（结果用含a的式子表示）7（2023山东枣庄统考中考真题）问题情境：如图1，在中，是边上的中线如图2，将的两个顶点B，C分别沿折叠后均与点D重合，折痕分别交于点E，G，F，H猜想证明：(1)如图2，试判断四边形的形状，并说明理由问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交于点M，N，的对应线段交于点K，求四边形的面积8（2023湖南统考中考真题）（1）问题探究如图1，在正方形中，对角线相交于点O在线段上任取一点P（端点除外），连接求证：；将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延
6、长线上的点Q处当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；探究与的数量关系，并说明理由（2）迁移探究如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变试探究与的数量关系，并说明理由9（2023湖南岳阳统考中考真题）如图1，在中，点分别为边的中点，连接初步尝试：（1）与的数量关系是_，与的位置关系是_特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接（1）求的度数；（2）求的长深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由10（2023湖北黄冈统考中考真
7、题）【问题呈现】和都是直角三角形，连接，探究，的位置关系(1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：_；(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长11（2023河北统考中考真题）如图1和图2，平面上，四边形中，点在边上，且将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接(1)若点在上，求证：；(2)如图2连接求的度数，并直接写出当时，的值；若点到的距离为，求的值；(3)当时，请直接写出点到直线的距离（用含的式子表示）12（2023四川达州统考中考真题）（1
8、）如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值；（2）如图，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值；（3）如图，在中，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值13（2023湖南郴州统考中考真题）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点(1)如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，连接设，若，求四边形的面积14（2023湖北宜昌统考中考真题）如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，连接，(1)若正方形的边长为
9、2，E是的中点如图1，当时，求证：；如图2，当时，求的长；(2)如图3，延长，交于点G，当时，求证：15（2023湖北武汉统考中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，交于点，探究与的数量关系问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值16（2023山西统考中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）当时，延长
10、交于点试判断四边形的形状，并说明理由(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点试猜想线段和的数量关系，并加以证明请你解答此问题；“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长请你思考此问题，直接写出结果17（2023湖北十堰统考中考真题）过正方形的顶点作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线交直线于点(1)如图1，若，则_；(2)如图1，请探究线段，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在绕点转动的过程中，设，请直接用含的式子表示的长
11、18（2023辽宁大连统考中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点落在上时，”小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰中，由翻折得到（1）如图1，当点落在上时，求证：；（2）如图2，若点为中点，求的长问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展问题2：如图3，在等腰中，若，则求的长19（2023山东统考中考真题）（1）如图1，在
12、矩形中，点，分别在边，上，垂足为点求证：【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，延长到点，使，连接求证：【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，求的长20（2023福建统考中考真题）如图1，在中，是边上不与重合的一个定点于点，交于点是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点(1)求证：；(2)求的度数；(3)若是的中点，如图2求证：21（2023四川统考中考真题）如图1，已知线段，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且(1)若，以为边在上方作，且，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；(2)如图2，在(1)的条件下，若，求的长；(3)如图3，若，当的
13、值最大时，求此时的值22（2023广西统考中考真题）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，展平纸片，连接，请完成：(1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明（1）中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，展平纸片，连接，请完成：(3)证明是的
14、一条三等分线23（2023重庆统考中考真题）在中，点为线段上一动点，连接(1)如图1，若，求线段的长(2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点 若，求证：(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值24（2023湖南统考中考真题）如图，在等边三角形中，为上的一点，过点作的平行线交于点，点是线段上的动点（点不与重合）将绕点逆时针方向旋转，得到，连接交于(1)证明：在点的运动过程中，总有(2)当为何值时，是直角三角形？
15、25（2023黑龙江统考中考真题）如图，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接易证：若和都是等腰直角三角形，且，如图：若和都是等腰三角形，且，如图：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图或图进行证明26（2023黑龙江齐齐哈尔统考中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地(1)发现问题：如图1，在和中，连接，延长交于点则与的数量关系：_，_；(2)类比探究：如图2，在和中，连接，延长，交于点请猜想与的数量关系及的度数，并说
16、明理由；(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，连接，且点，在一条直线上，过点作，垂足为点则，之间的数量关系：_；(4)实践应用：正方形中，若平面内存在点满足，则_27（2023广东深圳统考中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点，求证：；若时，则_（2）如图，在菱形中，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值（3）如图，在平行四边形中，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长28（2023内蒙古统考中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点(1)如图1，连接当时，试判断点是否在线段的垂
17、直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若，且，求证：；当时，设，求的长（用含的代数式表示）29（2023内蒙古赤峰统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形如图，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，连接，可得【探究一】如图，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上求证：；【探究二】在图中，连接，分别交，于点，求证：；【探究三】把三角尺旋转到如图所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，连接交于点，求的值30（2023山东东营统考中考真题）（1）用数学的眼光观察如图，在四边形中，是对角线的中点
18、，是的中点，是的中点，求证：（2）用数学的思维思考如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：（3）用数学的语言表达如图，在中，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明31（2023甘肃兰州统考中考真题）综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，试猜想四边形的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓
19、展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题32（2023贵州统考中考真题）如图，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，过点作射线，垂足为，点在上(1)【动手操作】如图，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_度；(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段
20、之间的数量关系，并说明理由33（2023辽宁统考中考真题）在中，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点(1)如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；(2)如图，当点在线段上时，求证：；(3)连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值34（2023四川成都统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究在中，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程【深入探究】(2)如
21、图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）35（2023江苏徐州统考中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，求证：【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为_ 36（2023四川南充统考中考真题）如
22、图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，(1)求证：；(2)将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由(3)在（2）的条件下，已知，当时，求的长37（2023安徽统考中考真题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接(1)如图1，求的大小；(2)已知点和边上的点满足（）如图2，连接，求证：；（）如图3，连接，若，求的值38（2023浙江宁波统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角(1)如图1，在四边形中，对角线平分求证：四边形为邻等四边形(2)如图
23、2，在65的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D(3)如图3，四边形是邻等四边形，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E若，求四边形的周长39（2023江苏扬州统考中考真题）【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设【操作探究】如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接(1)当时，_；当时，_；(2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为_40（202
24、3四川乐山统考中考真题）在学习完图形的旋转后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，；，（）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学【问题解决】（1）上述问题情境中“（）”处应填理由：_；（2）如图，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置请在图中作出点；如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为_；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题27原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司
