1、“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！72排_列第一课时排列与排列数公式及简单应用读教材填要点1排列从n个不同元素中取出m(mn)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列用符号A表示排列的个数时，有An(n1)(n2)(nm1)2排列数的相关公式n！123n,0！1.An(n1)(n2)(nm1).小问题大思维1北京上海，上海北京的车票是同一个排列吗？提示：由于北京上海、上海北京的车票都与顺序有关，所以不是同一个排列2如何判断一个具体问题是不是排列问题？提示：判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n个不同元素中取出m(mn)个元素时是有序还是无序，
2、有序就是排列，无序就不是排列3你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数排列的概念例1判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的
3、坐标？(4)从集合M1,2，9中，任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程1?解(1)是选出的2人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题(2)是显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关(3)是任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关(4)不是焦点在x轴上的椭圆，方程中的a、b必有ab，a、b的大小一定排列的特点是“先取后排”，即先从n个不同的元素中取出m个元素，再按一定顺序把这m个元素排成一列因此，判断一个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排列问题，无关则不是排列问题1判断下列问题是不是排列
4、问题，并说明理由(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，有多少种不同的结果？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，有多少种不同的结果？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？解：(1)不是排列问题；(2)是排列问题理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两元素的位置无关，但做除法时，两元素谁做除数，谁做被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题(3)第一问不是，第二问是理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式
5、时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题用列举法求简单的排列问题例2(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列解(1)由题意作“树形图”，如下故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个(2)由题意作“树形图”，如下故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，ca
6、b，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.“树形图”是解决简单排列问题的有效方法，特别是元素较少时在具体操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素，依次一直进行到完成一个排列2写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法解：如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种与排列数公式有关的计算或证明问题例3(1)计算；(2)求证：
7、AmAA.解(1)1.(2)证明：AmAm A.若A(55n)(56n)(69n)(nN且n55)，求q的值解：55n,56n，69n中的最大数为69n，且共有69n(55n)115个，(55n)(56n)(69n)A，p69n，q15.对排列数公式的理解应注意以下两点：(1)排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数相乘(2)一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时，采用阶乘形式较好3(1)用A的形式表示(x2，xN)；(2)解关于x的方程A140A.(3)
8、解不等式：A6A.解：(1)(x1)x(x1)A.(2)由A140A得(2x1)2x(2x1)(2x2)140x(x1)(x2)，由题意知x3，所以可变形为(2x1)(2x1)35(x2)，整理得4x235x690，解之得x13，x2(舍去)，所以x3.(3)由排列数公式，得6，化简得1，即x219x840，所以7x12.又因为xN，0x8,0x28，所以26A.解：(1)法一：Ax(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)(x6)(x5)(x6)A，89.A0，(x5)(x6)90.故x4(舍去)，x15.法二：由89，得A90A，即90.x！0，(x5)(x6)90.解得x4(舍去)，x15
9、.(2)原不等式即，由排列数定义知2x9，xN.化简得(11x)(10x)6，x221x1040，即(x8)(x13)0，x13.又2x9，xN，2x8，xN.故x2,3,4,5,6,7.第二课时排列数的综合应用特殊元素(或位置)的排列问题例13名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成两排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因个子高要排在后排解(1)(特殊元素优先法)先考虑甲有A种方案，再
10、考虑其余六人全排列，故NAA2 160(种)(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有A种方案，再安排其余5人全排列，故NAA240(种)(3)法一：(特殊元素优先法)：按甲是否在最右端分两类：第一类甲在最右端有N1A(种)，第二类甲不在最右端时，甲有A个位置可选，而乙也有A个位置，而其余全排列A，有N2AAA，故NN1N2AAAA3 720(种)法二：(间接法)：无限制条件的排列数共有A，而甲在左端或乙在右端的排法都有A，且甲在左端且乙在右端的排法有A，故NA2AA3 720(种)法三：(特殊位置优先法)：按最左端优先安排分步对于左端除甲外有A种排法，余下六个位置全排有A，但减去乙在最右端的排法
11、AA种，故NAAAA3 720(种)(4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前3个位置，男生丙、丁要排在后4个位置，因此先排女生甲、乙有A种方法，再排男生丙、丁有A种方法，最后把剩余的3名同学排好有A种方法故NAAA432(种)排列问题的实质是“元素”占“位置”的问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不能排在某个位置上或某个位置不排某些元素，解决该类问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置总的来说，解决这类问题有直接法和间接法两种，具体分析时可以按位置来分析，也可以先考虑特殊元素，各种方法可以相互验证1用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成
12、多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数解：(1)第一步，排个位，有A种排法；第二步，排十万位，有A种排法；第三步，排其他位，有A种排法故共有AAA288个六位奇数(2)法一：(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类第一类，当个位排0时，有A个；第二类，当个位不排0时，有AAA个故符合题意的六位数共有AAAA504(个)法二：(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况故符合题意的六位数共有A2AA504(个)(3)分三种情况，具体
13、如下：当千位上排1,3时，有AAA个当千位上排2时，有AA个当千位上排4时，形如40，42的各有A个；形如41的有AA个；形如43的只有4 310和4 302这两个数故共有AAAAA2AAA2110(个)捆绑法处理相邻问题例23名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须排在一起；(3)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人解(1)男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有NAAA288(种)排法
14、(2)把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故NAA720(种)(3)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故N(AA)A960(种)保持例题条件不变，若全体站成一排，则男生甲与男生乙之间至少有3人的方法有多少种？解：甲、乙两人中间无人的排法种数N1AA1 440(种)，甲、乙两人中间有1人的排法种数N2(AA)A1 200(种)，甲、乙两人中间有2人的排法种数N3(AA)A960(种)故甲、乙两人中间至少有3人的排法种数NAN1N2N31 440(种)对于某些元素“相邻”的排列问题，一般采用“捆绑法”，即先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，
15、然后再将这若干个元素内部全排列2张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，求这6人入园顺序排法的种数解：因为两个小孩要排在一起，所以可把两个小孩视为一个元素与两位妈妈一起排列，有AA12种排法又因为两位爸爸必须排列两端，有A2种排法故这6人入园顺序的排法有AAA62224种插空法处理不相邻问题例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解(1)先排歌唱节目有A种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈
16、节目，共有A种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有AA43 200种方法(2)先排舞蹈节目有A种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有AA2 880种方法(1)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”(2)应用插空法要注意以下几个方面：确定好哪些是要插入的元素；数清可插入的位置；搞清插入时是否有顺序3某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
17、(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻解：(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有AA1 440(种)排法(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有AA30 240(种)排法(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有AAA2 880(种)排法.解题高手多解题用0到9这十个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法一：当个位上排0时，千位、百位
18、、十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有A个；当个位上在“2,4,6,8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任意选一个，百位、十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按分步乘法计数原理有AAA个没有重复数字的四位偶数有AAAA5041 7922 296(个)法二：当个位数字排0时，同解法一有A个；当个位数字是2、4、6、8之一时，千位、百位、十位上可从余下9个数字中任选3个的排列中减去千位数是“0”的排列数，得A(AA)个没有重复数字的四位偶数有AA(AA)5041 7922 296(个)法三：千位数从1,3,5,7,9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，
19、百位、十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有AAA个；千位数从2、4、6、8中任选一个，个位数从余下的四个偶数中任选一个(包括0在内)，百位、十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有AAA个没有重复数字的四位偶数有AAAAAA41A2 296(个)法四：将没有重复数字的四位数划分为两类：四位奇数和四位偶数没有重复数字的四位数有(AA)个，其中四位奇数有A(AA)个没有重复数字的四位偶数有AAA(AA)10AA5A5A4A5A36A5A41A2 296(个)1A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有()A60种B48种C36种D24种解析：选D把
20、A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A24种排法2在数字1、2、3与符号、五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()A6 B12 C18 D24解析：选B符号、只能在两个数之间，这是间隔排列，排法有AA12种3从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A300种 B240种C144种 D96种解析：选B第一步先从剩余4人中选一个人去巴黎游览共有4种方法；第二步从剩余5人中选3人去另外三个城市有A种方法由分步乘法计数原理，共有4A2
21、40(种)不同选择方案4我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A12种 B18种C24种 D48种解析：选C把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有AA种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为AAA24.5记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有_种解析：先将5名志愿者排好，有A种排法，再将2位老人“捆绑”起来插入中间的间隔，有AA，由分步
22、乘法计数原理知，共有AAA960种答案：9606从5名短跑运动员中选出4人参加4100米接力赛，如果A不能跑第一棒，那么有多少种不同的参赛方法？解：法一：当A被选上时，共有AA72(种)方法，其中A表示A从除去第一棒的其他三棒中任选一棒；A表示再从剩下4人中任选3人安排在其他三棒当A没有被选上时，其他四人都被选上且没有限制，此时有A种方法故共有AAA96(种)参赛方法法二：接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图，第一个框图不能填A，有4种填法，其他三个框图共有A种填法，故共有4A96(种)参赛方法法三：(间接法)先不考虑A是否跑第一棒，共有A120(种)方法其中A在第一棒时共有A种方法，故共有
23、AA96(种)参赛方法一、选择题1从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，给法共有()A5种B10种C20种 D60种解析：选C从5本不同的书中选两本送给2名同学，共有A20种不同的方法2由1,4,5，x这四个数字组成无重复数字的四位数，若所有四位数的各位上的数字之和为288，则x等于()A2 B3C6 D8解析：选A经分析可知x0，所以这四个数字可组成A24(个)无重复数字的四位数，所以(145x)24288，所以x2.3航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有()A216种 B288种C180种 D144种解析：选B当B
24、，C相邻，且与D不相邻时，有AAA144种方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有AA144种方法，故共有288种编排方法4现从甲、乙、丙、丁、戌5名同学中选四位安排参加志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作有一人参加甲不会开车、乙不会翻译，但都能从事其他三项工作，而丙丁戌能胜任全部四项工作，则不同安排方案的种类是()A108 B78C72 D60解析：选B分两种情况，乙开车和乙不开车当乙开车时，甲、丙、丁、戌可胜任其余岗位即有A种安排方案；当乙不开车时，开车人选有3种可能，翻译人选为除乙外的剩余3人，最后还剩3人安排两个岗位，有A安排方法，故乙不开车时有33A
25、54，则故有A5478种不同方案二、填空题5由数字1,2,3,4,5五个数可以组成比20 000大且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有_个解析：当万位数字为3时，有A种情况；当万位数字不是3时，有AAA种情况，故共有AAAA78个答案：786有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组则不同的选法共有_种解析：从6名男医生中选出2名有C种选法，从5名女医生中选出1名有C种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法共有CC75(种)答案：75种73个人坐8个位置，要求每个人的左右都有空位，有_种坐法解析：第一步：摆5个空位置，；第二步：3个人带上凳子插入5个空位置之间的
26、四个空，有A24(种)插法，故有24种不同坐法解此类问题主要用“插空法”答案：248在某艺术馆中展出5件艺术作品，其中不同的书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这5件作品的不同方案有_种解析：把2件书法作品当作一个元素，与其他3件艺术品进行全排列，有2A48种方案其中，2件绘画作品相邻，有22A24种方案，则该艺术馆展出这5件作品的不同方案有482424种答案：24三、解答题93个女生和5个男生排成一排(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？(3)
27、如果女生不站两端，有多少种不同排法？(4)如果甲排在乙的前面，有多少种不同排法？解：(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有AA4 320种不同排法(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有AA14 400种不同排法(3)法一：(位置分析法)，因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有AA14 400种不同排法法二：(元素分析法)从中间6个
28、位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有AA14 400种不同排法法三：(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的AA种排法和女生排在末位的AA种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需要回来一次，由于两端都是女生有AA种不同的排法，所以共有A2AAAA14 400种不同的排法(4)不考虑限制共有A种排法中，那么在这A种排法中，包含甲和乙的所有排列法有A种，由于甲在乙的前面，只占其中一类，因此甲排在乙的前面的所有不同排法有20 160种10用数字0,1,2
29、,3,4,5组成没有重复数字的4位数(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？(3)在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为多少？解：(1)(直接法)AA300(个)(间接法)AA300(个)(2)(直接法)因为0为特殊元素，故先考虑0.若0在个位有A个；0不在个位时，从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有AAA，故有AAAA156(个)(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有AA，其中第一位是0的有AA个故适合题意的数有AAAA156(个)(3)1在首位的数有A60(个)2在首位且0在第二位的数有A12(个)2在首位且1在第二位的数有A12(个)以上四位数共有84个，故第85个数是2 301.“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！
