1、第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理课后篇巩固提升必备知识基础练1.在ABC中,已知a=8,B=60,C=75,则b等于()A.46B.45C.43D.223答案A解析A+B+C=180,又B=60,C=75,A=180-B-C=45.由正弦定理asinA=bsinB,得b=asinBsinA=8sin60sin45=46.故选A.2.(2021江苏玄武校级月考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=4,a=2,b=1,则B=()A.3或23B.3C.6D.6或56答案C解析因为A=4,a=2,b=1,由正弦定理得asinA
2、=bsinB,即222=1sinB,所以sin B=12.因为ab,所以AB.因为B为三角形内角,所以B=6.故选C.3.在ABC中,AB=2,BC=5,ABC的面积为4,则cosABC等于()A.35B.35C.-35D.25答案B解析由S=12ABBCsinABC,得4=1225sinABC,解得sinABC=45,从而cosABC=35.4.在ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cos A=34,则ca的值为()A.2B.12C.32D.1答案C解析由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2sinAcosAsinA=2cos A=234=32.5.(2021
3、福建福州期中)在ABC中,a=43,b=12,A=6,则此三角形()A.无解B.有两解C.有一解D.解的个数不确定答案B解析在ABC中,a=43,b=12,A=6,则bsin A=1212=6,可得bsin Aab,B=45,故选C.11.在ABC中,A=60,a=13,则a+b+csinA+sinB+sinC等于()A.833B.2393C.2633D.23答案B解析由a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C得a+b+csinA+sinB+sinC=2R=asinA=13sin60=2393.12.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csi
4、n A,若ABC的面积S=10,b=4,则a的值为()A.233B.253C.263D.283答案B解析由3acos C=4csin A,得asinA=4c3cosC.又由正弦定理asinA=csinC,得csinC=4c3cosC,tan C=34,sin C=35.又S=12bcsin A=10,b=4,csin A=5.根据正弦定理,得a=csinAsinC=535=253,故选B.13.(2021福建福州期中)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且a2=bc,则basinA的值为.答案233解析因为(a+b+c)(a+b-c)=3a
5、b,所以(a+b)2-c2=3ab,整理得a2+b2-c2=ab,故cos C=a2+b2-c22ab=12.由于0C,故C=3.a2=bc,由正弦定理可得sin2A=sin Bsin C.故basinA=sinBsin2A=sinBsinBsinC=1sinC=1sin3=233.14.在ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断ABC的形状.解由已知,得a2sinBcosB=b2sinAcosA.又由正弦定理,得sin2 AsinBcosB=sin2 BsinAcosA,即sinAcosB=sinBcosA,所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin
6、2B.所以2A=2B或2A+2B=180,所以A=B或A+B=90,即ABC是等腰三角形或直角三角形.15.已知ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sin B,求ABC面积的最大值.解由正弦定理,得a2-c2=(2a-b)b,即a2+b2-c2=2ab.由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=2ab2ab=22.C(0,),C=4.S=12absin C=122Rsin A2Rsin B22=2R2sin Asin B=2R2sinA22cosA+22sinA=R2(sin Acos A+sin2A)=R2
7、12sin2A+1-cos2A2=R222sin2A-4+12.A0,34.2A-4-4,54,sin2A-4-22,1,S0,2+12R2,ABC面积的最大值为2+12R2.16.(2021山东日照模拟)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若2asin A=(2sin B+sin C)b+(2sin C+sin B)c.求:(1)A的大小;(2)sin B+sin C的最大值.解(1)因为2asin A=(2sin B+sin C)b+(2sin C+sin B)c,所以由正弦定理可得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,由余弦定理的推论可得cos
8、 A=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12.因为A(0,),所以A=23.(2)由(1)可得sin B+sin C=sin B+sin3-B=32cos B+12sin B=sin3+B,故当B=6时,sin B+sin C取得最大值1.学科素养创新练17.在ABC中,D是边BC上的点,AD平分BAC,ABD的面积是ADC的面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2DC=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知,AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.5
