1、深圳大学附属中学 林伟芬6.3.2 二项式系数的性质 坪山高级中学 唐晓敏一、内容与内容解析1. 内容：二项式系数的概念，由杨辉三角和数形结合等方法观察并推导得到二项式系数的性质。2. 内容解析：（1） 二项式系数的性质：本节课设置在学生学习完二项式定理之后，课程要求学生对二项式系数的性质进行探索。本节课设置为教师结合数学史的相关内容，引导学生对二项式系数的性质进行由浅及深的探究。结合杨辉三角，教师可以引导学生发现二项式系数最直观的一个性质对称性，要观察对称性，我们可以把它看作一个函数，通过提问“对于函数y=Cnr，比如y=C6r，它关于谁对称呢？”帮助学生去发现结论；随后在函数的基础上很自然
2、地引出第二个性质增减性与最大值，学生通过前面函数图像都对二项式系数的增减性与最大值已经有较清晰的感受，这时教师再从数的角度展示增减性和最大值的证明过程，体现结论的合理性；随后对于不能直接观察到的性质各二项式系数的和，可以结合二项式定理的展开式，通过赋值得到结果。 （2）赋值法：即通过对二项展开式中的字母赋予特定的值，从而求解特定项的值的方法。学生在学习二项式系数的第三条性质各二项式系数的和时，了解了赋值法，通过例题“证明：在的展示式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和”进一步熟悉赋值法，随后通过更多的习题和变式初步掌握赋值法的运用。3. 教学重点：掌握二项式系数的性质、探讨二项
3、式系数的规律、了解赋值法的运用。二、目标与目标解析1. 目标：（1）掌握二项式系数的性质及推导。（2）掌握赋值法在求解二项展开式特定项系数和中的运用。（3）通过探究二项式系数性质的过程，培养学生发现问题、解决问题的能力，发展学生的学科素养。2.目标解析：达成上述目标的标志分别是：（1） 知道二项式系数与系数的区别；（2） 能够在习题中灵活运用二项式系数的性质解决问题；（3） 能用赋值法快速准确地解决相关习题；三、教学问题诊断解析1. 问题诊断（1） 为什么要学习二项式系数的性质是第一个问题。在学生学习了二项式定理以后，进一步探究二项式系数有什么性质是很自然的一个问题。相关数表早在1261年就由
4、杨辉记载在了详解九章算法中，在前人的肩膀上，我们可以进一步探索二项式系数的性质，是一件有趣而十分有意义的事情。可以培养学生的民族自豪感和对数学学习的兴趣。（2） 如何学习二项式系数的性质是第二个问题。先通过杨辉三角进行直观地观察和归纳得到第一个性质，再联系函数图形理解这个性质，然后通过数形结合的方法体会并证明第二个性质，最后利用二项展开式的特征，体会赋值法的巧妙运用。这些方法由易到难，性质由浅及深，在教师的引导下，学生可以经历猜测证明总结的数学学习过程，增加数学学习的趣味性。2. 教学难点赋值法的正确运用。四、教学支持条件分析理解二项式系数的性质是本节课的重点，为了实现重点内容的学习，需要师生
5、借助信息技术手段，通过数形结合的方法进行学习。本节课主要用到的信息技术手段是ppt，能直观清晰地展示相关函数图像和杨辉三角等供学生观察推理。五、教学过程设计引导语 这节课我们一起来学习二项式系数的性质，首先让我们回顾一下二项式定理，在二项展开式中，就叫做二项式系数，那么随着n的改变，二项式系数有什么通用的性质呢？让我们一起来看看。1.新知引入令,计算二项式系数的值，并填入表格，如果将这些系数进行特定的排列，形似三角，这个三角在我国被称为杨辉三角。它是由我国南宋数学家杨辉在1261年所著的详解九章算法中记载着的表。 （杨辉三角） （）性质1【对称性】 通过杨辉三角我们可以直观感受到每一行的二项式
6、系数都具有一个通性，这个性质就是对称性。通过函数图形可以更清晰地感受这一点，设，以为例画出函数图形7个孤立的点，这个图形的对称轴是谁呢？没错，它的对称轴是。事实上，函数的图像总是关于对称的。【概括】与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。这一性质可直接由公式得到从n个元素中取出m个元素，总是对应剩下（n-m）个元素，因此，这两个组合数总是对应相等。【设计意图】 通过杨辉三角和函数图像研究二项式系数的第一个性质对称性，并为二项式系数的第二个性质增减性埋下伏笔。 性质2【增减性与最大值】 让我们继续观察的函数图像，可以直观感受到函数在对称轴以左递增，以右递减，最大值应该在中间项取到。从数的角度我
7、们可以通过比值比较两个数的大小，不妨设，那么相对于的大小就由决定，通过令，可得在时递增，再通过比较相邻两项的大小可以得到当n为偶数时，最大，而当n为奇数时，且同时取得最大值。【概括】当n为偶数时，最大，而当n为奇数时，且同时取得最大值。此处配合给出的函数图像理解。【设计意图】 分别从形与数的角度发现的增减性与最大值，加深学生印象，理解二项式系数的增减性和最大值。性质3【各二项式系数的和】 在二项展开式中，令，则可以得到，也就是说各二项式系数的和为，这种方法称之为赋值法。【概括】 。【设计意图】 通过赋值法得到各二项式系数的和，让学生体会赋值法的妙用。2.例题讲解、练习巩固例题讲解 【例1】证明
8、：在的展示式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 【点拨】通过赋 可得 ， 即得证。 教师ppt展示证明过程。 【结论】【设计意图】通过赋值法的巧妙运用证明结论，加深学生对赋值法的理解。练习巩固 1.2. 3.若一个集合含有n个元素，则这个集合共有多少个子集？教师展示答案并讲解。【设计意图】加深学生对性质3的印象。赋值法的运用练习 1.已知 （1）求的值；（2）求的值。 【设计意图】帮助学生熟悉赋值法在求二项展开式中特定项系数和中的运用。变式 1.求 的二项展开式的 （1）二项式系数和； （2）系数和.2.若已知 ，求的值。【设计意图】帮助学生理解并区分二项式系数与系数和的区别，进一步理解赋值法在求系数和中的运用。3.拓展探究通过观察杨辉三角可以得到每一个数等于其肩上两个数之和，这个性质可以表示为，此公式既可以代入组合数公式证得，也可以构造情境用组合数的意义解释。 【设计意图】引导学生发现探索，拓展学生思维，引导学生联系生活实际理解公式含义，体会数学的乐趣。4.总结提升一般地，展开式的二项式系数有如下性质：（1） （对称性）（2） 当n为偶数时，最大，而当n为奇数时，且同时取得最大值 （3） （4）【设计意图】加深学生的印象，巩固本节课所学。
